Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente decidir se a série converge ou diverge. Isso envolve entender séries alternadas e alguns testes de convergência. Vamos precisar saber sobre a Série Alternada e o Teste de Leibniz pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série: . Ela é alternada porque o fator
muda o sinal de cada termo: positivo, negativo, positivo, e assim por diante.
Passo 3
O próximo passo é verificar se os termos estão diminuindo conforme
aumenta e se eles tendem a zero. Sabemos que para pequenos valores de
é aproximadamente igual a
. Então, .
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste de Leibniz para séries alternadas. Esse teste diz que uma série da forma
converge se:
- Os termos
são decrescentes: para todo . - O limite dos termos é zero:
.
Passo 5
Vamos verificar as condições do Teste de Leibniz:
- Decrescentes: diminui à medida que
aumenta porque diminui e a função seno é crescente nesse intervalo. - Limite zero: .
Passo 6
Como ambas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série converge.
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Mostre que:
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Use a definição de limite infinito para mostrar que:
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Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
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Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
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