Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente decidir se a série converge ou diverge. Isso envolve entender séries alternadas e alguns testes de convergência. Vamos precisar saber sobre a Série Alternada e o Teste de Leibniz pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série: . Ela é alternada porque o fator muda o sinal de cada termo: positivo, negativo, positivo, e assim por diante.

Passo 3

O próximo passo é verificar se os termos estão diminuindo conforme aumenta e se eles tendem a zero. Sabemos que para pequenos valores de é aproximadamente igual a . Então, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste de Leibniz para séries alternadas. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são decrescentes: para todo .
  2. O limite dos termos é zero: .

Passo 5

Vamos verificar as condições do Teste de Leibniz:
  1. Decrescentes: diminui à medida que aumenta porque diminui e a função seno é crescente nesse intervalo.
  2. Limite zero: .

Passo 6

Como ambas as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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Use a definição de limite infinito para mostrar que: .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .