Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty x^nn^n, x>0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma série infinita dada por:
sumn=1^+infty x^nn^n, x > 0
Queremos saber se essa série converge (ou seja, se a soma chega a um valor finito) ou diverge (não chega a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Raiz, que é muito útil para analisar séries com termos envolvendo potências como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que, para a série L = limn to infty raiz[n]|an| , calculamos:
an = x^nn^n
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.
No nosso caso, o termo geral é:
Vamos aplicar o Teste da Raiz a esse termo.

Passo 3

Aplicando a fórmula do Teste da Raiz:
L = limn to infty raiz[n]| x^nn^n | = limn to infty raiz[n]x^nraiz[n]n^n
Simplificando as raízes:
raiz[n]x^n = x e raiz[n]n^n = n
Então:
L = limn to infty xn

Passo 4

Agora, vamos calcular esse limite:
L = limn to infty xn
Sabemos que, conforme L = 0 cresce sem limite, tende a 0, porque o denominador aumenta enquanto o numerador permanece constante.

Passo 5

Com e sabendo que , pelo Teste da Raiz, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge para todo .

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