Mostre que: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a soma infinita de para começando de 1 dá igual a 1. Isso envolve entender séries infinitas e fatoriais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões algébricas e usar propriedades de séries que facilitam a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da soma: . Nosso objetivo é simplificar isso de um jeito que a soma fique mais fácil de calcular. Vamos reescrever o termo:
Agora, sabemos que é igual a , então podemos substituir:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na soma original:
Perceba que essa soma é a diferença entre dois termos que se repetem com índices diferentes.

Passo 4

Vamos escrever alguns termos para ver o que acontece:
Você nota que muitos termos vão se cancelando, tipo uma telescópio! O que sobra é o primeiro termo e o último termo que se aproxima de zero conforme a soma vai até o infinito.

Passo 5

Quando somamos infinitos termos, o último termo tende a zero, já que cresce super rápido. Então, a soma total fica:

Resposta

1

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Use a definição de limite infinito para mostrar que: .
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .