Mostre que: sumn=1^+infty n-1n!=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a soma infinita de (n-1)/n! para n começando de 1 dá igual a 1. Isso envolve entender séries infinitas e fatoriais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões algébricas e usar propriedades de séries que facilitam a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da soma: n-1n!. Nosso objetivo é simplificar isso de um jeito que a soma fique mais fácil de calcular. Vamos reescrever o termo:
n-1n! = nn! - 1n!
Agora, sabemos que nn! é igual a 1(n-1)!, então podemos substituir:
n-1n! = 1(n-1)! - 1n!

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na soma original:
sumn=1^+infty n-1n! = sumn=1^+infty ( 1(n-1)! - 1n! )
Perceba que essa soma é a diferença entre dois termos que se repetem com índices diferentes.

Passo 4

Vamos escrever alguns termos para ver o que acontece:
( 10! - 11! ) + ( 11! - 12! ) + ( 12! - 13! ) + cdots
Você nota que muitos termos vão se cancelando, tipo uma telescópio! O que sobra é o primeiro termo 10! e o último termo que se aproxima de zero conforme a soma vai até o infinito.

Passo 5

Quando somamos infinitos termos, o último termo 1n! tende a zero, já que n! cresce super rápido. Então, a soma total fica:
10! - 0 = 1

Resposta

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