Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a soma infinita de
para
começando de 1 dá igual a 1. Isso envolve entender séries infinitas e fatoriais. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões algébricas e usar propriedades de séries que facilitam a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da soma:
. Nosso objetivo é simplificar isso de um jeito que a soma fique mais fácil de calcular. Vamos reescrever o termo:
Agora, sabemos que
é igual a
, então podemos substituir:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão na soma original:
Perceba que essa soma é a diferença entre dois termos que se repetem com índices diferentes.
Passo 4
Vamos escrever alguns termos para ver o que acontece:
Você nota que muitos termos vão se cancelando, tipo uma telescópio! O que sobra é o primeiro termo
e o último termo que se aproxima de zero conforme a soma vai até o infinito.
Passo 5
Quando somamos infinitos termos, o último termo
tende a zero, já que
cresce super rápido. Então, a soma total fica:
Resposta
1
Exercícios relacionados
Use a definição de limite infinito para mostrar que:
.
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
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Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
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