Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limite. Esses testes vão nos ajudar a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a comparação. A gente tem:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma série com a qual possamos comparar essa. Sabemos que a série converge se . No nosso caso, temos , que é maior que 1, então a série converge.

Passo 4

Para usar o Teste da Comparação, precisamos mostrar que o termo geral da nossa série original é menor ou igual ao termo da série que já sabemos que converge. Vamos ver:
Como cresce mais devagar que qualquer potência de , para , temos que . Então:

Passo 5

Observamos que é semelhante a , e a série é a famosa série harmônica que diverge. Mas isso não nos ajuda muito, então vamos tentar outro caminho.

Passo 6

Vamos usar o Teste da Comparação Limite. Calculamos o limite da razão dos termos das duas séries:
Isso sugere que nossa série se comporta como a série que diverge, o que não é útil. Então, vamos tentar o Teste da Integral.

Passo 7

No Teste da Integral, avaliamos a integral correspondente:
Vamos resolver essa integral por partes, onde e .

Passo 8

Calculando:
Então,
Agora, avaliamos de 1 até :
Como a integral converge para um valor finito, a série também converge pelo Teste da Integral.

Resposta

A série converge.

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