Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty ln nn raizn.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limite. Esses testes vão nos ajudar a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a comparação. A gente tem:
ln nn raizn = ln nn^3/2
Então, a série fica:
sumn=1^+infty ln nn^3/2

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma série com a qual possamos comparar essa. Sabemos que a série converge se . No nosso caso, temos , que é maior que 1, então a série converge.

Passo 4

Para usar o Teste da Comparação, precisamos mostrar que o termo geral da nossa série original é menor ou igual ao termo da série que já sabemos que converge. Vamos ver:
Como ln nn^3/2 <= n^1/2n^3/2 = 1n cresce mais devagar que qualquer potência de , para , temos que . Então:

Passo 5

Observamos que é semelhante a , e a série é a famosa série harmônica que diverge. Mas isso não nos ajuda muito, então vamos tentar outro caminho.

Passo 6

Vamos usar o Teste da Comparação Limite. Calculamos o limite da razão dos termos das duas séries:
limn to +infty ln nn^3/21n^3/2 = limn to +infty ln n = +infty
Isso sugere que nossa série se comporta como a série que diverge, o que não é útil. Então, vamos tentar o Teste da Integral.

Passo 7

No Teste da Integral, avaliamos a integral correspondente:
integral1^+infty ln xx^3/2 , dx
Vamos resolver essa integral por partes, onde e .

Passo 8

Calculando:
du = 1x dx e v = integral x^-3/2 dx = -2 x^-1/2
Então,
integral ln xx^3/2 dx = -2 ln xraizx + 2 integral 1x^3/2 dx = -2 ln xraizx - 4 1raizx + C
Agora, avaliamos de 1 até limb to +infty ( -2 ln braizb - 4 1raizb ) - ( -2 ln 11 - 4 11 ) = 0 - (-4) = 4 :
Como a integral converge para um valor finito, a série também converge pelo Teste da Integral.

Resposta

A série converge.

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