Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação Limite. Esses testes vão nos ajudar a comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar a comparação. A gente tem:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos pensar em uma série com a qual possamos comparar essa. Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso, temos
, que é maior que 1, então a série
converge.
Passo 4
Para usar o Teste da Comparação, precisamos mostrar que o termo geral da nossa série original é menor ou igual ao termo da série que já sabemos que converge. Vamos ver:
Como
cresce mais devagar que qualquer potência de
, para
, temos que
. Então:
Passo 5
Observamos que
é semelhante a
, e a série
é a famosa série harmônica que diverge. Mas isso não nos ajuda muito, então vamos tentar outro caminho.
Passo 6
Vamos usar o Teste da Comparação Limite. Calculamos o limite da razão dos termos das duas séries:
Isso sugere que nossa série se comporta como a série que diverge, o que não é útil. Então, vamos tentar o Teste da Integral.
Passo 7
No Teste da Integral, avaliamos a integral correspondente:
Vamos resolver essa integral por partes, onde
e
.
Passo 8
Calculando:
Então,
Agora, avaliamos de 1 até
:
Como a integral converge para um valor finito, a série também converge pelo Teste da Integral.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem:
.
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.