Use a definição de limite infinito para mostrar que: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos a definição de limite no infinito para mostrar que a expressão tende a . Então, estamos trabalhando com limites no infinito, que é um conceito de cálculo que estuda o comportamento de funções quando a variável independente cresce sem limite positivo ou negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, à medida que aumenta, o valor de fica cada vez mais negativo, sem nenhum limite inferior.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição de limite no infinito. Dizemos que se, para todo número real negativo, existe um número tal que, para todo , .

Passo 4

Aplicando isso à nossa função , queremos provar que para qualquer , podemos encontrar um tal que, se , então .

Passo 5

Resolva a inequação para encontrar :
Como é negativo, será maior que 2. Então, podemos escolher .

Passo 6

Com isso, mostramos que para qualquer , se escolhermos , sempre que , teremos . Isso satisfaz a definição de que tende a .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite no infinito, mostramos que .

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