Use a definição de limite infinito para mostrar que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos a definição de limite no infinito para mostrar que a expressão
tende a
. Então, estamos trabalhando com limites no infinito, que é um conceito de cálculo que estuda o comportamento de funções quando a variável independente cresce sem limite positivo ou negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, à medida que
aumenta, o valor de
fica cada vez mais negativo, sem nenhum limite inferior.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da definição de limite no infinito. Dizemos que
se, para todo número real
negativo, existe um número
tal que, para todo
,
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa função
, queremos provar que para qualquer
, podemos encontrar um
tal que, se
, então
.
Passo 5
Resolva a inequação
para encontrar
:
Como
é negativo,
será maior que 2. Então, podemos escolher
.
Passo 6
Com isso, mostramos que para qualquer
, se escolhermos
, sempre que
, teremos
. Isso satisfaz a definição de que
tende a
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite no infinito, mostramos que
.
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Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.
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.
Mostre que:
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.