Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty n^2n!.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar ferramentas de cálculo de séries infinitas, especificamente o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para séries que envolvem fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. Matemáticamente, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos:
  • Se , a série converge
  • Se ou é infinito, a série diverge
  • Se , o teste é inconclusivo
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Vamos identificar an = n^2n! na nossa série:
an+1 = (n+1)^2(n+1)!
Agora, calculamos an+1an = (n+1)^2(n+1)! times n!n^2 = (n+1)^2n^2 times 1n+1 :
an+1an = (n+1)^2n^2(n+1) = n+1n^2
Agora, vamos montar o quociente L = limn to infty n+1n^2 = limn to infty 1 + 1nn = 0 :
Simplificando:
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 4

Como encontramos que e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão, já que o limite do quociente entre termos consecutivos é zero, que é menor que 1.

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