Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty 3^n2^n n^5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para decidir se a série sumn=1^+infty 3^n2^n n^5 converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas, mais especificamente, séries que envolvem termos com potências de números e fatoriais. Vamos precisar usar o Teste da Razão para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral do termo da série:
an = 3^n2^n n^5 = (32)^n cdot 1n^5
Aqui, vemos que temos uma parte que é uma progressão geométrica (32)^n e outra que é 1n^5.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos que envolvem potências e fatoriais. O teste diz que, para a série sum an, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an:
an+1an = (32)^n+1 cdot 1(n+1)^5(32)^n cdot 1n^5 = (32) cdot (nn+1)^5

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (32) cdot (nn+1)^5
Sabemos que limn to infty (nn+1)^5 = 1, então:
L = 32 cdot 1 = 32

Passo 6

Como L = 32 > 1, de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 3^n2^n n^5 diverge.

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