Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente decidir se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série ser alternada. Aqui, o termo faz com que os sinais dos termos da série alternem entre positivo e negativo. Quando temos uma série assim, podemos aplicar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que se os termos forem decrescentes e tenderem a zero quando vai ao infinito, então a série original converge. Vamos verificar isso:
Decrescentes: À medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua.
Tendem a zero: O limite de quando tende ao infinito é:
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , essa série converge.