Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: sumn >= 1 (-1)^n+1n^32.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente decidir se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série ser alternada. Aqui, o termo faz com que os sinais dos termos da série alternem entre positivo e negativo. Quando temos uma série assim, podemos aplicar o Teste da Série Alternada para verificar a convergência.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que se os termos limn to infty 1n^32 = 0 forem decrescentes e tenderem a zero quando vai ao infinito, então a série original converge. Vamos verificar isso:
  1. Decrescentes: À medida que aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua.
  2. Tendem a zero: O limite de quando tende ao infinito é:
Como ambas as condições são satisfeitas, a série converge.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn >= 1 | (-1)^n+1n^32 | = sumn >= 1 1n^32
Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , essa série converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty 3^n2^n n^5.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty n^2n!.
Encontre as raízes das seguintes equações:
4 x^2 - 9 = 0.
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum (-1)^n n2^n x^n.