Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico da função
, onde
é um número real positivo (
). Para isso, vamos precisar saber sobre funções trigonométricas, especificamente o cosseno, e entender como parâmetros como amplitude e período influenciam o gráfico. Também vamos identificar onde a função atinge seus máximos, mínimos e onde ela cruza o eixo x (raízes).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o básico da função cosseno. A função
tem amplitude 1 e período
. A amplitude mostra o quão alto e baixo o gráfico vai, e o período indica quanto tempo leva para completar um ciclo completo da onda.
Quando a gente tem
, o
dentro do argumento
afeta o período da função. A fórmula para o novo período é:
Isso significa que, quanto maior for o valor de
, mais “esticada” fica a função no eixo x, ou seja, ela completa um ciclo mais rápido.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos chave do gráfico:
- Máximos: A função cosseno atinge seu valor máximo de 1 quando o argumento
é . Então, os pontos máximos estão em:
- Mínimos: Ela atinge seu valor mínimo de -1 quando o argumento
é . Assim, os pontos mínimos estão em:
- Raízes: São os pontos onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde
. Isso acontece quando , então:
Passo 4
Com essas informações, vamos esboçar o gráfico:
-
Período: Sabemos que a cada
unidades no eixo x, o gráfico completa um ciclo. -
Pontos de Referência: Marque os máximos, mínimos e raízes dentro de um período, usando as fórmulas que encontramos no passo anterior.
-
Forma da Onda: Entre dois máximos consecutivos, o gráfico vai descer até o mínimo, passando pelas raízes.
Passo 5
Vamos colocar tudo junto:
- Começamos em
com (ponto máximo). - Em
, a função cruza o eixo x. - Chega em
com (ponto mínimo). - Passa de novo pela raiz em
. - Completa o ciclo em
retornando ao ponto máximo .
Repita esse padrão para os demais ciclos à esquerda e à direita do eixo y.
Resposta
O gráfico da função
é uma onda periódica com amplitude 1 e período
. Ela atinge máximos em
, mínimos em
e cruza o eixo x em
, onde
é um número inteiro. O esboço mostra uma curva oscilando entre 1 e -1, repetindo-se a cada
unidades no eixo x.
Exercícios relacionados
Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo
é interceptado.
A reta faz um ângulo de com o eixo
, e passa por
.
A reta faz um ângulo de
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
.
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.