Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando a in R e a > 0.
f(x) = cos(a x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa desenhar o gráfico da função , onde é um número real positivo ( ). Para isso, vamos precisar saber sobre funções trigonométricas, especificamente o cosseno, e entender como parâmetros como amplitude e período influenciam o gráfico. Também vamos identificar onde a função atinge seus máximos, mínimos e onde ela cruza o eixo x (raízes).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o básico da função cosseno. A função tem amplitude 1 e período . A amplitude mostra o quão alto e baixo o gráfico vai, e o período indica quanto tempo leva para completar um ciclo completo da onda.
Quando a gente tem , o dentro do argumento afeta o período da função. A fórmula para o novo período é:
Isso significa que, quanto maior for o valor de , mais “esticada” fica a função no eixo x, ou seja, ela completa um ciclo mais rápido.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos chave do gráfico:
  1. Máximos: A função cosseno atinge seu valor máximo de 1 quando o argumento é . Então, os pontos máximos estão em:
éú
  1. Mínimos: Ela atinge seu valor mínimo de -1 quando o argumento é . Assim, os pontos mínimos estão em:
éú
  1. Raízes: São os pontos onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde . Isso acontece quando , então:
éú

Passo 4

Com essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Período: Sabemos que a cada unidades no eixo x, o gráfico completa um ciclo.
  2. Pontos de Referência: Marque os máximos, mínimos e raízes dentro de um período, usando as fórmulas que encontramos no passo anterior.
  3. Forma da Onda: Entre dois máximos consecutivos, o gráfico vai descer até o mínimo, passando pelas raízes.

Passo 5

Vamos colocar tudo junto:
  • Começamos em com (ponto máximo).
  • Em , a função cruza o eixo x.
  • Chega em com (ponto mínimo).
  • Passa de novo pela raiz em .
  • Completa o ciclo em retornando ao ponto máximo .
Repita esse padrão para os demais ciclos à esquerda e à direita do eixo y.

Resposta

O gráfico da função é uma onda periódica com amplitude 1 e período . Ela atinge máximos em , mínimos em e cruza o eixo x em , onde é um número inteiro. O esboço mostra uma curva oscilando entre 1 e -1, repetindo-se a cada unidades no eixo x.

Exercícios relacionados

Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo x é interceptado.
A reta faz um ângulo de 30 graus com o eixo x, e passa por 0,2.
Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: cos x=sumn >= 0(-1)^n x^2 n(2 n)!.
Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando a in R e a > 0.
f(x) = cot(a x).
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty n^32^n.