Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico da função
, onde
é um número real positivo (
). Para isso, vamos precisar entender como a função cotangente funciona, quais são suas características principais como período, assíntotas, máximos, mínimos e raízes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função cotangente. A cotangente de um ângulo
é definida por:
Isso significa que
está relacionada às funções seno e cosseno.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o período da função cotangente. O período de
é
porque a função se repete a cada
unidades. No nosso caso, como temos
, o período muda. Para encontrar o novo período, usamos a fórmula:
Isso significa que a cada
unidades, o gráfico da função vai se repetir.
Passo 4
Vamos identificar onde a função tem assíntotas verticais. As assíntotas ocorrem onde o denominador da função cotangente, que é
, é igual a zero. Então, resolvemos:
Isso acontece quando:
Logo, as assíntotas verticais estão em:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, onde
. Para
, precisamos que
, já que:
Isso acontece quando:
Portanto, as raízes estão em:
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função entre as assíntotas. Entre duas assíntotas consecutivas, a função cotangente começa em
de um lado e desce até
do outro lado, passando pela raiz que encontramos. Isso significa que a função não tem máximos ou mínimos locais, mas sim uma tendência decrescente contínua dentro de cada intervalo entre assíntotas.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de
:
- Desenhe as assíntotas verticais em
. - Marque as raízes em
. - Entre cada par de assíntotas, desenhe uma curva que desce de
a , passando pela raiz.
Resposta
O gráfico de
possui assíntotas verticais em
, raízes em
, e apresenta curvas decrescentes contínuas entre cada par de assíntotas. O período da função é
. Assim, o esboço mostra linhas verticais nas posições das assíntotas e curvas que descem de
a
entre elas, cruzando as raízes correspondentes.
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Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando
e
.
.
Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo
é interceptado.
A reta faz um ângulo de com o eixo
, e passa por
.
A reta faz um ângulo de
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Encontre as demais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para o ângulo
nos seguintes casos: