Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando a in R e a > 0.
f(x) = cot(a x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar o gráfico da função , onde é um número real positivo ( ). Para isso, vamos precisar entender como a função cotangente funciona, quais são suas características principais como período, assíntotas, máximos, mínimos e raízes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cotangente. A cotangente de um ângulo é definida por:
Isso significa que está relacionada às funções seno e cosseno.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o período da função cotangente. O período de é porque a função se repete a cada unidades. No nosso caso, como temos , o período muda. Para encontrar o novo período, usamos a fórmula:
í
Isso significa que a cada unidades, o gráfico da função vai se repetir.

Passo 4

Vamos identificar onde a função tem assíntotas verticais. As assíntotas ocorrem onde o denominador da função cotangente, que é , é igual a zero. Então, resolvemos:
Isso acontece quando:
Logo, as assíntotas verticais estão em:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, onde . Para , precisamos que , já que:
Isso acontece quando:
Portanto, as raízes estão em:

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função entre as assíntotas. Entre duas assíntotas consecutivas, a função cotangente começa em de um lado e desce até do outro lado, passando pela raiz que encontramos. Isso significa que a função não tem máximos ou mínimos locais, mas sim uma tendência decrescente contínua dentro de cada intervalo entre assíntotas.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico de :
  1. Desenhe as assíntotas verticais em .
  2. Marque as raízes em .
  3. Entre cada par de assíntotas, desenhe uma curva que desce de a , passando pela raiz.

Resposta

O gráfico de possui assíntotas verticais em , raízes em , e apresenta curvas decrescentes contínuas entre cada par de assíntotas. O período da função é . Assim, o esboço mostra linhas verticais nas posições das assíntotas e curvas que descem de a entre elas, cruzando as raízes correspondentes.

Exercícios relacionados

Esboce o gráficos das seguintes funções (destacando, quando houver, máximos/mínimos e raízes), considerando a in R e a > 0.
f(x) = cos(a x).
Em cada reta abaixo, encontre os coeficientes linear e angular, e o ponto em que o eixo x é interceptado.
A reta faz um ângulo de 30 graus com o eixo x, e passa por 0,2.
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty n^32^n.
Encontre as demais funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) para o ângulo theta nos seguintes casos:
sen(theta) = 3/7