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Passo 1
Vamos analisar a série
. Essa é uma série alternada, ou seja, os termos mudam de sinal conforme
aumenta. Para entender se essa série converge ou não, vamos usar o Teste da Série Alternada da matemática, que nos ajuda a determinar a convergência de séries onde os sinais dos termos alternam.
Passo 2
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência decrescente. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Vamos verificar cada uma dessas condições para a nossa série.
Passo 3
Primeiro, os termos
são positivos para todo
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Segundo, vamos verificar se a sequência
é decrescente. Para isso, observamos que, conforme
aumenta,
também aumenta, fazendo com que
diminua. Portanto,
é uma sequência decrescente.
Passo 5
Terceiro, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Assim, a terceira condição também é satisfeita.
Passo 6
Como todas as três condições do Teste da Série Alternada são atendidas, concluímos que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
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.
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.