Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
Passo 1
Vamos analisar a série . Estamos lidando com séries numéricas infinitas e queremos descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (cresce sem limites). Para resolver isso, vamos usar o **Teste da Razão**, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries que possuem termos com potências ou exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar os cálculos. Sabemos que , então a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o **Teste da Razão**. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre o termo geral e quando tende ao infinito:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.
Passo 4
Vamos calcular :
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
De acordo com o **Teste da Razão**, se , a série converge. Aqui, , que é menor que 1. Portanto, a série converge.