Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=0^+infty n^3raiz2^n.

Passo 1

Vamos analisar a série . Estamos lidando com séries numéricas infinitas e queremos descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (cresce sem limites). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries que possuem termos com potências ou exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar os cálculos. Sabemos que sumn=0^+infty n^32^n/2 , então a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre o termo geral L = limn to infty | an+1an | e quando tende ao infinito:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = (n+1)^32^(n+1)/2 times 2^n/2n^3 = (n+1)^3n^3 times 12^1/2 = (1 + 1n)^3 times 1raiz2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty (1 + 1n)^3 times 1raiz2 = 1 times 1raiz2 = 1raiz2 approx 0,707 quando tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, se , a série converge. Aqui, , que é menor que 1. Portanto, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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