Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .

Passo 1

Vamos analisar a série . Estamos lidando com séries numéricas infinitas e queremos descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (cresce sem limites). Para resolver isso, vamos usar o **Teste da Razão**, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries que possuem termos com potências ou exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador para facilitar os cálculos. Sabemos que , então a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o **Teste da Razão**. Esse teste envolve calcular o limite da razão entre o termo geral e quando tende ao infinito: Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o **Teste da Razão**, se , a série converge. Aqui, , que é menor que 1. Portanto, a série converge.

Resposta

A série **converge** pelo Teste da Razão.

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
Determine, uma primitiva para as funções abaixo: - b) ;
Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .