Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty n^5-5 n+7n^7-raizn+2.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série sumn=1^+infty n^5 - 5 n + 7n^7 -raizn + 2 converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série quando cresce bastante, usando principalmente o Teste do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor como ela se comporta. Olha só:
an = n^5 - 5 n + 7n^7 - raizn + 2
Quando an approx n^5n^7 = 1n^2 fica muito grande, os termos de menor grau (como ou ) acabam tendo pouca influência. Então, vamos focar nos termos de maior grau no numerador e no denominador:

Passo 3

Agora, sabemos que a série é uma série p com . E lembre-se, uma série p converge se . Então, essa série conhecida converge.

Passo 4

Para ter certeza de que a nossa série original também converge, podemos usar o Teste da Comparação. Já que e sabemos que converge, nossa série original também deve convergir, pois os termos dela são menores ou comparáveis aos da série p convergente.

Resposta

A série sumn=1^+infty n^5 - 5 n + 7n^7 -raizn + 2 converge.

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