Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série
converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série quando
cresce bastante, usando principalmente o Teste do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor como ela se comporta. Olha só:
Quando
fica muito grande, os termos de menor grau (como
ou
) acabam tendo pouca influência. Então, vamos focar nos termos de maior grau no numerador e no denominador:
Passo 3
Agora, sabemos que a série
é uma série p com
. E lembre-se, uma série p converge se
. Então, essa série conhecida converge.
Passo 4
Para ter certeza de que a nossa série original também converge, podemos usar o Teste da Comparação. Já que
e sabemos que
converge, nossa série original também deve convergir, pois os termos dela são menores ou comparáveis aos da série p convergente.
Resposta
A série
converge.