Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum 2^nn^2 x^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sum 2^nn^2 x^n
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e testes de convergência, especificamente o Teste da Razão.

Passo 2

Vamos começar encontrando o raio de convergência usando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Identificamos os termos da nossa série:
an = 2^nn^2 x^n
Agora, vamos calcular an+1an = 2^n+1(n+1)^2 x^n+12^nn^2 x^n = 2 cdot x cdot n^2(n+1)^2 :

Passo 4

Aplicando o limite para o Teste da Razão:
L = limn to infty | 2x cdot n^2(n+1)^2 |
Podemos simplificar o limite dividindo o numerador e o denominador por L = limn to infty | 2x cdot 1(1 + 1n)^2 | = |2x| cdot limn to infty 1(1 + 1n)^2 = |2x| cdot 1 = |2x| :

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que |2x| < 1 implies |x| < 12 :
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

Agora que temos o raio de convergência, o próximo passo é determinar o intervalo de convergência. Sabemos que - 12 < x < 12 , ou seja:
Entretanto, precisamos verificar o comportamento da série nos pontos extremos e para ver se a série converge nesses valores.

Passo 7

Para sum 2^nn^2 (12)^n = sum 1n^2 :
Substituindo na série:
sum 2^nn^2 (-12)^n = sum (-1)^nn^2
Essa é a série , que é uma série p com , portanto, converge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada cuja termo geral tende a zero e é decrescente em módulo, então converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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