Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências e testes de convergência, especificamente o Teste da Razão.
Passo 2
Vamos começar encontrando o raio de convergência usando o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Identificamos os termos da nossa série:
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Aplicando o limite para o Teste da Razão:
Podemos simplificar o limite dividindo o numerador e o denominador por :
Passo 5
Para que a série convirja, precisamos que :
Então, o raio de convergência é .
Passo 6
Agora que temos o raio de convergência, o próximo passo é determinar o intervalo de convergência. Sabemos que , ou seja:
Entretanto, precisamos verificar o comportamento da série nos pontos extremos e para ver se a série converge nesses valores.
Passo 7
Para :
Substituindo na série:
Essa é a série , que é uma série p com , portanto, converge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada cuja termo geral tende a zero e é decrescente em módulo, então converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .