Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: sumn=1^+infty 23 n^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos decidir se a série sumn=1^+infty 23 n^2 converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente sobre convergência absoluta e convergência condicional.

Passo 2

Olhemos para a série dada: sumn=1^+infty 23 n^2. Podemos simplificar essa expressão dividindo o 2 por 3, ficando 23 sumn=1^+infty 1n^2. Essa é uma série p, onde cada termo é da forma 1n^p. Aqui, p = 2.

Passo 3

Para séries do tipo p, existe uma regra que diz: se p > 1, a série converge; se p <= 1, ela diverge. No nosso caso, p = 2, que é maior que 1. Portanto, a série sumn=1^+infty 1n^2 converge.

Passo 4

Agora, para verificar se essa convergência é absoluta, precisamos observar que todos os termos da série são positivos. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Como já vimos que sumn=1^+infty 1n^2 converge e todos os termos são positivos, a convergência é, de fato, absoluta.

Resposta

A série sumn=1^+infty 23 n^2 converge absolutamente.

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