Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos decidir se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente sobre convergência absoluta e convergência condicional.

Passo 2

Olhemos para a série dada: . Podemos simplificar essa expressão dividindo o 2 por 3, ficando . Essa é uma série p, onde cada termo é da forma . Aqui, .

Passo 3

Para séries do tipo p, existe uma regra que diz: se , a série converge; se , ela diverge. No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 4

Agora, para verificar se essa convergência é absoluta, precisamos observar que todos os termos da série são positivos. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Como já vimos que converge e todos os termos são positivos, a convergência é, de fato, absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
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Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: .
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