Decida se as séries convergem absolutamente, condicionalmente, ou divergem:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos decidir se a série
converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente sobre convergência absoluta e convergência condicional.
Passo 2
Olhemos para a série dada:
. Podemos simplificar essa expressão dividindo o 2 por 3, ficando
. Essa é uma série p, onde cada termo é da forma
. Aqui,
.
Passo 3
Para séries do tipo p, existe uma regra que diz: se
, a série converge; se
, ela diverge. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 4
Agora, para verificar se essa convergência é absoluta, precisamos observar que todos os termos da série são positivos. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Como já vimos que
converge e todos os termos são positivos, a convergência é, de fato, absoluta.
Resposta
A série
converge absolutamente.
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Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta:
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Defina o raio e o intervalo de convergência das séries:
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