Mostre que: .

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos mostrar que a soma infinita resulta em . Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries telescópicas, que são aquelas em que muitos termos se cancelam mutuamente quando somados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da soma para entender como eles se comportam:

Passo 3

Observamos que cada termo negativo cancela com o termo positivo seguinte. Por exemplo, cancela com , e assim por diante. Isso é característico de uma série telescópica.

Passo 4

Após os cancelamentos, sobra apenas o primeiro termo da série e o limite do último termo quando tende ao infinito. Portanto, temos:

Passo 5

Sabemos que , então:

Resposta

Assim, a soma da série é igual a .

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Prove que: Se e , então .
Prove que: se, e somente se, .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .
Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: .