Mostre que:
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos mostrar que a soma infinita
resulta em
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries telescópicas, que são aquelas em que muitos termos se cancelam mutuamente quando somados.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da soma para entender como eles se comportam:
Passo 3
Observamos que cada termo negativo cancela com o termo positivo seguinte. Por exemplo,
cancela com
, e assim por diante. Isso é característico de uma série telescópica.
Passo 4
Após os cancelamentos, sobra apenas o primeiro termo da série e o limite do último termo quando
tende ao infinito. Portanto, temos:
Passo 5
Sabemos que
, então:
Resposta
Assim, a soma da série é igual a
.