Mostre que: sumn=1^+infty[sen(1n)-sen(1n+1)]=sen 1.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos mostrar que a soma infinita sumn=1^+infty[sin(1n)-sin(1n+1)] resulta em sin 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries telescópicas, que são aquelas em que muitos termos se cancelam mutuamente quando somados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da soma para entender como eles se comportam:
sin(11) - sin(12) + sin(12) - sin(13) + sin(13) - sin(14) + dots

Passo 3

Observamos que cada termo negativo cancela com o termo positivo seguinte. Por exemplo, -sin(12) cancela com +sin(12), e assim por diante. Isso é característico de uma série telescópica.

Passo 4

Após os cancelamentos, sobra apenas o primeiro termo da série e o limite do último termo quando n tende ao infinito. Portanto, temos:
sin(1) - limn to +infty sin(1n+1)

Passo 5

Sabemos que limn to +infty 1n+1 = 0, então:
limn to +infty sin(1n+1) = sin 0 = 0

Resposta

Assim, a soma da série é igual a sin 1.

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