Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para determinar se a série
é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos olhar para a série dos valores absolutos dos termos, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste da Série p para essa série de valores absolutos. O Teste da Série p diz que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1.
Passo 4
Como
, a série dos valores absolutos
diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Apesar disso, a série original é uma série alternada, pois os termos mudam de sinal a cada termo devido ao
. Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que verifica duas condições:
- Os termos
devem ser decrescentes. - O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero.
Passo 6
Verificamos que
é de fato decrescente, pois conforme
aumenta,
diminui. Além disso,
. Portanto, ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas.
Passo 7
Como a série alternada satisfaz o Teste da Série Alternada, ela converge. Porém, já vimos que a série dos valores absolutos diverge, então a série original não é absolutamente convergente, apenas condicionalmente convergente.
Resposta
A série
é condicionalmente convergente.
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