Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A questão pede para determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-1 / 3 é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos olhar para a série dos valores absolutos dos termos, ou seja, sumn=1^infty |(-1)^n-1 n^-1 / 3| = sumn=1^infty n^-1 / 3.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste da Série p para essa série de valores absolutos. O Teste da Série p diz que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, p = 13, que é menor que 1.

Passo 4

Como p = 13 <= 1, a série dos valores absolutos sumn=1^infty n^-1 / 3 diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Apesar disso, a série original é uma série alternada, pois os termos mudam de sinal a cada termo devido ao (-1)^n-1. Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que verifica duas condições:
  1. Os termos an = n^-1/3 devem ser decrescentes.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito deve ser zero.

Passo 6

Verificamos que an = n^-1/3 é de fato decrescente, pois conforme n aumenta, n^-1/3 diminui. Além disso, limn to infty n^-1/3 = 0. Portanto, ambas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas.

Passo 7

Como a série alternada satisfaz o Teste da Série Alternada, ela converge. Porém, já vimos que a série dos valores absolutos diverge, então a série original não é absolutamente convergente, apenas condicionalmente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-1 / 3 é condicionalmente convergente.

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