Decida se é convergente ou divergente cada uma das sequências abaixo
Passo 1
Beleza! A gente tem que decidir se a sequência converge ou diverge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento de cada parte da expressão conforme
cresce. O numerador é e o denominador é
.
Passo 3
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então, não cresce, ele apenas oscila nesse intervalo.
Passo 4
Multiplicando por
, temos que o numerador está entre
e
. Apesar do seno oscilar, o fator
faz com que o numerador cresça em módulo.
Passo 5
Agora, olhamos para o denominador
. À medida que
aumenta,
domina, então o denominador cresce proporcionalmente a
.
Passo 6
Para encontrar o limite da sequência, dividimos numerador e denominador por
:
À medida que
tende ao infinito,
tende a 0, então:
Passo 7
Sabemos que está entre -1 e 1, então está entre
e
. Como
tende ao infinito,
tende a 0.
Passo 8
Pelo Teorema do Encolhimento (ou Teorema Sandwich), se e ambos os limites laterais são 0, então o limite da sequência também é 0.
Resposta
A sequência converge para 0.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais:
Decida se é convergente ou divergente cada uma das sequências abaixo
Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.