Decida se é convergente ou divergente cada uma das sequências abaixo
z_n = n * sen(n) / (1 + n^2)

Passo 1

Beleza! A gente tem que decidir se a sequência converge ou diverge. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento de cada parte da expressão conforme cresce. O numerador é e o denominador é .

Passo 3

Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então, não cresce, ele apenas oscila nesse intervalo.

Passo 4

Multiplicando por , temos que o numerador está entre e . Apesar do seno oscilar, o fator faz com que o numerador cresça em módulo.

Passo 5

Agora, olhamos para o denominador . À medida que aumenta, domina, então o denominador cresce proporcionalmente a .

Passo 6

Para encontrar o limite da sequência, dividimos numerador e denominador por :
À medida que tende ao infinito, tende a 0, então:

Passo 7

Sabemos que está entre -1 e 1, então está entre e . Como tende ao infinito, tende a 0.

Passo 8

Pelo Teorema do Encolhimento (ou Teorema Sandwich), se e ambos os limites laterais são 0, então o limite da sequência também é 0.

Resposta

A sequência converge para 0.

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