Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se a série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas, especialmente os testes de convergência para séries alternadas e absolutas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
Sabemos que sumn=1^infty 1n(n+3) para todo . Então, podemos simplificar a série majorando-a por:
Passo 3
Agora, vamos simplificar 1n(n+3) = An + Bn+3 usando frações parciais. Queremos encontrar constantes 1 = A(n+3) + Bn e 1 = A(0) + B(-3) Rightarrow B = -13 tais que:
1 = A(3) + B(0) Rightarrow A = 13
Multiplicando ambos os lados por 1n(n+3) = 13( 1n - 1n+3 ) , temos: