Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
sumn=1^infty cos (3 n)n(n+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se a série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas, especialmente os testes de convergência para séries alternadas e absolutas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | cos(3n)n(n+3) |
Sabemos que sumn=1^infty 1n(n+3) para todo . Então, podemos simplificar a série majorando-a por:

Passo 3

Agora, vamos simplificar 1n(n+3) = An + Bn+3 usando frações parciais. Queremos encontrar constantes 1 = A(n+3) + Bn e 1 = A(0) + B(-3) Rightarrow B = -13 tais que:
1 = A(3) + B(0) Rightarrow A = 13
Multiplicando ambos os lados por 1n(n+3) = 13( 1n - 1n+3 ) , temos:
Para encontrar e , podemos escolher valores de :
  • Se :
  • Se :
Portanto:

Passo 4

Substituindo de volta na série majorada, temos:
sumn=1^infty 1n(n+3) = 13 sumn=1^infty ( 1n - 1n+3 )
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam. Calculando os primeiros termos:
13 ( ( 11 - 14 ) + ( 12 - 15 ) + ( 13 - 16 ) + cdots )
Observamos que, no limite, a soma converge para um valor finito.

Passo 5

Como a série majorada sumn=1^infty | cos(3n)n(n+3) | <= sumn=1^infty 1n(n+3) é convergente, e sabemos que:
Pela Propriedade da Comparação, a série original dos valores absolutos também é convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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