Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo da série representa. A série tem a forma . O indica que os termos estão alternando de sinal, ou seja, positivo, negativo, positivo, e assim por diante.
Passo 3
Para determinar o tipo de convergência, vamos verificar a convergência absoluta e a convergência condicional.
Convergência Absoluta: Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge.
Vamos calcular a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série dos valores absolutos converge.
Convergência Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série é condicionalmente convergente.
No nosso caso, já verificamos que a série dos valores absolutos converge, então não precisamos verificar a convergência condicional.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.