Decida se cada uma das séries a seguir é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1n^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é divergente, condicionalmente convergente ou absolutamente convergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da série representa. A série tem a forma . O indica que os termos estão alternando de sinal, ou seja, positivo, negativo, positivo, e assim por diante.

Passo 3

Para determinar o tipo de convergência, vamos verificar a convergência absoluta e a convergência condicional.
  1. Convergência Absoluta: Uma série sumn=1^infty | (-1)^n-1n^3 | = sumn=1^infty 1n^3 é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge.
    Vamos calcular a série dos valores absolutos:
    Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série dos valores absolutos converge.
  2. Convergência Condicional: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge, então a série é condicionalmente convergente.
    No nosso caso, já verificamos que a série dos valores absolutos converge, então não precisamos verificar a convergência condicional.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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A igualdade
pi4=1-13+15-17+19-ldots
é conhecida como fórmula de Leibniz e pode ser empregada para aproximar o valor de pi.
Sabendo que pi4=arctg(1)=integral0^1 11+t^2 d t, obtenha a fórmula de Leibniz por integração termo a termo da série de potências de 11+x^2
Encontre a área entre as curvas y = x^2 e y = 2 x no intervalo [0,2].