Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD: (1,3,2)(3,10,8),(9,30,24) subset R^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se o conjunto de vetores (1,3,2), (3,10,8), (9,30,24) em R^3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se pelo menos um vetor puder ser expresso assim, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar isso, uma maneira prática é montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Se for zero, eles são LD. Vamos montar a matriz:
A = 1 & 3 & 9 3 & 10 & 30 2 & 8 & 24

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = 1(10 times 24 - 8 times 30) - 3(3 times 24 - 2 times 30) + 9(3 times 8 - 10 times 2)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro termo:
10 times 24 = 240
8 times 30 = 240
240 - 240 = 0
Então, 1 times 0 = 0
  1. Segundo termo:
3 times 24 = 72
2 times 30 = 60
72 - 60 = 12
Então, -3 times 12 = -36
  1. Terceiro termo:
3 times 8 = 24
10 times 2 = 20
24 - 20 = 4
Então, 9 times 4 = 36

Passo 6

Agora, somando todos os termos:
0 - 36 + 36 = 0
O determinante da matriz A é zero.

Passo 7

Como o determinante é zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes (LD). Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Resposta

Os vetores (1,3,2), (3,10,8), (9,30,24) são linearmente dependentes (LD).

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