Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD: (1,2,-2),(3,5,-1),(-2,1,-5) subset R^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se o conjunto de vetores (1,2,-2),(3,5,-1),(-2,1,-5) em R^3 é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Caso contrário, é linearmente dependente.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os vetores como colunas:
A = 1 & 3 & -2 2 & 5 & 1 -2 & -1 & -5

Passo 4

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Se for zero, são LD.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = 1 cdot 5 & 1 -1 & -5 - 3 cdot 2 & 1 -2 & -5 + (-2) cdot 2 & 5 -2 & -1
Calculando cada menor:
5 & 1 -1 & -5 = (5)(-5) - (1)(-1) = -25 + 1 = -24
2 & 1 -2 & -5 = (2)(-5) - (1)(-2) = -10 + 2 = -8
2 & 5 -2 & -1 = (2)(-1) - (5)(-2) = -2 + 10 = 8
Substituindo de volta:
det(A) = 1 cdot (-24) - 3 cdot (-8) + (-2) cdot 8 = -24 + 24 - 16 = -16

Passo 6

O determinante de A é -16, que é diferente de zero.

Resposta

Como o determinante da matriz formada pelos vetores é diferente de zero ( det(A) = -16 neq 0), os vetores são Linearmente Independentes (LI).

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