(Página 267) Em cada um dos problemas 4 e 5 , determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole dada pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações das hipérboles. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação para encontrar tudo o que foi pedido.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão da hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x é:
onde
é o centro da hipérbole,
é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e
está relacionado à “altura” da hipérbole.
Passo 3
Nossa equação inicial é
. Vamos rearranjá-la para se assemelhar à forma padrão:
Dividindo ambos os lados por 8:
Agora, está na forma padrão com
,
,
e
.
Passo 4
Vamos identificar os parâmetros:
- Centro:
-
-
Passo 5
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo x. Então, os vértices são:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os focos. A distância dos focos ao centro é dada por
, onde:
Substituindo os valores:
Então, os focos estão em:
Passo 7
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Substituindo:
Resposta
A hipérbole
tem centro na origem
, vértices em
, focos em
e excentricidade aproximadamente igual a 1,225. O gráfico é uma hipérbole com eixo real ao longo do eixo x.
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Esboçar o gráfico das cônicas:
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
Esboçar o gráfico das cônicas:
Determine os valores reais de
, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha uma única solução: