(Página 267) Em cada um dos problemas 4 e 5 , determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
x^wed>= z-2 y^wed>= z-8=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole dada pela equação . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações das hipérboles. Vamos passo a passo entender e resolver essa equação para encontrar tudo o que foi pedido.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão da hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
onde é o centro da hipérbole, é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x, e está relacionado à “altura” da hipérbole.

Passo 3

Nossa equação inicial é x^2 - 2y^2 = 8 . Vamos rearranjá-la para se assemelhar à forma padrão:
x^28 - y^24 = 1
Dividindo ambos os lados por 8:
Agora, está na forma padrão com , , e .

Passo 4

Vamos identificar os parâmetros:
  • Centro:

Passo 5

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância (pm a, 0) = (pm 2raiz2, 0) do centro ao longo do eixo x. Então, os vértices são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os focos. A distância dos focos ao centro é dada por c^2 = a^2 + b^2 , onde:
c^2 = 8 + 4 = 12 implies c = raiz12 = 2raiz3
Substituindo os valores:
(pm c, 0) = (pm 2raiz3, 0)
Então, os focos estão em:

Passo 7

A excentricidade e = ca da hipérbole é dada por:
e = 2raiz32raiz2 = raiz3raiz2 = raiz32 approx 1,225
Substituindo:

Resposta

A hipérbole tem centro na origem , vértices em , focos em e excentricidade aproximadamente igual a 1,225. O gráfico é uma hipérbole com eixo real ao longo do eixo x.

Exercícios relacionados

Esboçar o gráfico das cônicas: (x-6)^216+(y-5)^29=1
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD: (1,3,2)(3,10,8),(9,30,24) subset R^3
Esboçar o gráfico das cônicas: (x-3)^24-(y-3)^29=1
Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha uma única solução: (c)^* x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y-z & =1