Esboçar o gráfico das cônicas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da equação
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das cônicas, mais especificamente, de uma elipse. Para desenhar o gráfico, vamos precisar identificar o centro da elipse, os comprimentos dos eixos maior e menor, e a direção desses eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Na equação geral da elipse, que é
,
representa o centro. Comparando com a nossa equação:
Vemos que
e
. Então, o centro da elipse está no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os comprimentos dos eixos. Na fórmula da elipse:
-
está debaixo do termo que identifica o comprimento do eixo maior. -
está debaixo do termo que identifica o comprimento do eixo menor.
Na nossa equação,
e
. Então, tirando a raiz quadrada:
Isso significa que o eixo maior tem comprimento
unidades e o eixo menor tem comprimento
unidades.
Passo 4
Vamos determinar a orientação da elipse, ou seja, se o eixo maior é horizontal ou vertical. Isso depende de qual denominador é maior:
Como
, o eixo maior está na direção do eixo
(horizontal), e o eixo menor está na direção do eixo
(vertical).
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar a elipse:
- Plotar o centro no ponto
. - A partir do centro, medir
unidades para a direita e para a esquerda ao longo do eixo . Isso nos dá os vértices principais em e . - Medir
unidades para cima e para baixo ao longo do eixo , dando os vértices coanjos em e . - Desenhar a elipse conectando esses pontos, garantindo que a forma seja alongada horizontalmente.
Resposta
O gráfico da equação
é uma elipse com centro no ponto
, eixo maior horizontal com comprimento
unidades e eixo menor vertical com comprimento
unidades.
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