Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha nenhuma solução: (c)^* x+y+k z & =2 3 x+4 y+2 z & =k 2 x+3 y-z & =1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores reais de x + y + k z & = 2 3x + 4y + 2z & = k 2x + 3y - z & = 1 que fazem com que o sistema linear dado não tenha solução. O sistema é o seguinte:
Vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes para resolver isso. Precisaremos montar a matriz dos coeficientes e ver para quais valores de o sistema não tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa que pegamos os números que multiplicam as incógnitas A = 1 & 1 & k 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1 , b = 2 k 1 e em cada equação:
E o vetor dos termos constantes é:

Passo 3

Para que o sistema não tenha solução, a matriz dos coeficientes det(A) = 0 deve ser singular, ou seja, seu determinante deve ser zero:
det(A) = 1 cdot (4 cdot (-1) - 2 cdot 3) - 1 cdot (3 cdot (-1) - 2 cdot 2) + k cdot (3 cdot 3 - 4 cdot 2)
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (-4 - 6) - 1 cdot (-3 - 4) + k cdot (9 - 8) :
det(A) = 1 cdot (-10) - 1 cdot (-7) + k cdot (1)
Vamos calcular cada parte:
det(A) = -10 + 7 + k
det(A) = -3 + k
-3 + k = 0 implies k = 3
Igualando a zero:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se, quando x + y + 3z & = 2 3x + 4y + 2z & = 3 2x + 3y - z & = 1 , o sistema realmente não tem solução. Para isso, vamos substituir 1 & 1 & 3 & | & 2 3 & 4 & 2 & | & 3 2 & 3 & -1 & | & 1 nas equações e ver se elas são inconsistentes.
Substituindo 1 & 1 & 3 & | & 2 0 & 1 & -7 & | & -3 2 & 3 & -1 & | & 1 :
1 & 1 & 3 & | & 2 0 & 1 & -7 & | & -3 0 & 1 & -7 & | & -3
Vamos montar a matriz ampliada e ver se as equações são incompatíveis.
Aplicando operações de linha para tentar resolver:
  1. Subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira:
Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais, o que indica que o sistema tem infinitas soluções, não sendo inconsistente.

Passo 5

Mas esperava-se que, quando , o sistema não tivesse solução. O que aconteceu? Na verdade, quando o determinante é zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo se as equações são compatíveis ou não.
No nosso caso, com , as equações ficaram compatíveis e o sistema tem infinitas soluções. Portanto, para que o sistema não tenha solução, precisamos que as equações sejam incompatíveis.

Passo 6

Vamos analisar novamente. O determinante sendo zero indica que as equações são dependentes, mas para não ter solução, o sistema precisa ser inconsistente.
Vamos verificar se existe algum valor de para o qual as equações se contradizem.
Usando a regra de Cramer, sabemos que se e (onde são as matrizes substituindo a coluna pelos termos constantes), então o sistema não tem solução.
Mas no nosso caso, só temos quando , e vimos que para o sistema tem infinitas soluções. Portanto, não existe valor real de que faça o sistema não ter solução.

Resposta

Não existe nenhum valor real de que faça o sistema linear dado não ter solução.

Exercícios relacionados

Encontre os determinantes indicados, sabendo que
|lll a & b & c d & e & f g & h & i |=4
(e) |lll2 c & b & a 2 f & e & d 2 i & h & g|
Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W. W=(x, y, z) in I R^3: y=x e V=I R^3
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD: (1,2,-2),(3,5,-1),(-2,1,-5) subset R^3
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD: (1,3,2)(3,10,8),(9,30,24) subset R^3