Determine os valores reais de , em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha nenhuma solução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores reais de x + y + k z & = 2 3x + 4y + 2z & = k 2x + 3y - z & = 1 que fazem com que o sistema linear dado não tenha solução. O sistema é o seguinte:
Vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes para resolver isso. Precisaremos montar a matriz dos coeficientes e ver para quais valores de o sistema não tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa que pegamos os números que multiplicam as incógnitas A = 1 & 1 & k 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1 , b = 2 k 1 e em cada equação:
E o vetor dos termos constantes é:
Passo 3
Para que o sistema não tenha solução, a matriz dos coeficientes det(A) = 0 deve ser singular, ou seja, seu determinante deve ser zero:
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (-4 - 6) - 1 cdot (-3 - 4) + k cdot (9 - 8) :
det(A) = 1 cdot (-10) - 1 cdot (-7) + k cdot (1)
Vamos calcular cada parte:
det(A) = -10 + 7 + k
det(A) = -3 + k
-3 + k = 0 implies k = 3
Igualando a zero:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se, quando x + y + 3z & = 2 3x + 4y + 2z & = 3 2x + 3y - z & = 1 , o sistema realmente não tem solução. Para isso, vamos substituir 1 & 1 & 3 & | & 2 3 & 4 & 2 & | & 3 2 & 3 & -1 & | & 1 nas equações e ver se elas são inconsistentes.
Vamos montar a matriz ampliada e ver se as equações são incompatíveis.
Aplicando operações de linha para tentar resolver:
Subtrair 3 vezes a primeira linha da segunda:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da terceira:
Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais, o que indica que o sistema tem infinitas soluções, não sendo inconsistente.
Passo 5
Mas esperava-se que, quando , o sistema não tivesse solução. O que aconteceu? Na verdade, quando o determinante é zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo se as equações são compatíveis ou não.
No nosso caso, com , as equações ficaram compatíveis e o sistema tem infinitas soluções. Portanto, para que o sistema não tenha solução, precisamos que as equações sejam incompatíveis.
Passo 6
Vamos analisar novamente. O determinante sendo zero indica que as equações são dependentes, mas para não ter solução, o sistema precisa ser inconsistente.
Vamos verificar se existe algum valor de para o qual as equações se contradizem.
Usando a regra de Cramer, sabemos que se e (onde são as matrizes substituindo a coluna pelos termos constantes), então o sistema não tem solução.
Mas no nosso caso, só temos quando , e vimos que para o sistema tem infinitas soluções. Portanto, não existe valor real de que faça o sistema não ter solução.
Resposta
Não existe nenhum valor real de que faça o sistema linear dado não ter solução.