Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W. W=(x, y, z) in R^3 mid 5 x-y=0 e 4 z-8 x=0 e V=I R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se certos conjuntos são subespaços de . Se forem, a gente também precisa encontrar uma base e a dimensão do conjunto . Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como definição de subespaço, combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto .

Passo 4

Primeiro, checa se o vetor zero está em :
  • e . Então, o vetor zero está em .

Passo 5

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer de , suas componentes devem satisfazer as equações e . Somando esses vetores, as novas componentes também vão satisfazer as mesmas equações, garantindo que a soma está em .

Passo 6

Por último, verificamos se é fechado sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um vetor de por qualquer escalar, as equações e continuam válidas, então o vetor resultante também está em .

Passo 7

Como satisfaz todas as condições para ser um subespaço, podemos confirmar que é de fato um subespaço de .

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma base para 5x - y = 0 e 4z - 8x = 0 . As equações que definem são:
Da primeira equação, temos . Da segunda, então .

Passo 9

Podemos expressar qualquer vetor em (x, y, z) = (x, 5x, 2x) = x(1, 5, 2) em termos de :
Isso mostra que todos os vetores em são múltiplos do vetor .

Passo 10

Como todos os vetores de são múltiplos de , a base de é .

Passo 11

A dimensão de um subespaço é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão de é 1.

Resposta

Sim, é um subespaço de . Uma base para é e sua dimensão é 1.

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