Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W.
e
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se certos conjuntos são subespaços de
. Se forem, a gente também precisa encontrar uma base e a dimensão do conjunto
. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como definição de subespaço, combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subespaço. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
.
Passo 4
Primeiro, checa se o vetor zero
está em
:
-
e . Então, o vetor zero está em .
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Se pegarmos dois vetores quaisquer de
, suas componentes
devem satisfazer as equações
e
. Somando esses vetores, as novas componentes também vão satisfazer as mesmas equações, garantindo que a soma está em
.
Passo 6
Por último, verificamos se
é fechado sob multiplicação por escalar. Se multiplicarmos um vetor de
por qualquer escalar, as equações
e
continuam válidas, então o vetor resultante também está em
.
Passo 7
Como
satisfaz todas as condições para ser um subespaço, podemos confirmar que
é de fato um subespaço de
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma base para
. As equações que definem
são:
Da primeira equação, temos
. Da segunda,
então
.
Passo 9
Podemos expressar qualquer vetor em
em termos de
:
Isso mostra que todos os vetores em
são múltiplos do vetor
.
Passo 10
Como todos os vetores de
são múltiplos de
, a base de
é
.
Passo 11
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um vetor, a dimensão de
é 1.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
. Uma base para
é
e sua dimensão é 1.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir:
e
Determine os valores reais de
, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado admita solução não-trivial: $*\left{\begin{aligned} x-y-z & =0 \ x-2 y-2 z & =0 \ 2 x+k y+z & =0\end\
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
a) Determine uma base e a dimensão do subespaço
.