Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto satisfaz a propriedade para todo e para todos . Isso tá ligado à parte de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades que definem um espaço vetorial. Pra resolver isso, a gente precisa entender o que cada parte da propriedade significa e como aplicar no conjunto .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a propriedade . Essa é conhecida como distribuição do escalar sobre a adição vetorial. Em palavras simples, isso significa que quando você multiplica um escalar () pela soma de dois vetores (), é igual a multiplicar o escalar por cada vetor individualmente e depois somar os resultados.
Passo 3
Agora, pra verificar se satisfaz essa propriedade, precisamos saber como a adição e a multiplicação por escalar são definidas em . Essas operações devem seguir as regras básicas de um espaço vetorial.
Vamos supor que seja um espaço vetorial comum, como , onde as operações são definidas da seguinte maneira:
Adição Vetorial:
Multiplicação por Escalar:
Passo 4
Vamos testar a propriedade usando essas definições:
Calcular :
Calcular :
Passo 5
Agora, observamos que:
Ou seja, para todo e .
Resposta
Sim, o conjunto satisfaz a propriedade para todo e para todos .