Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir: alpha(u+v)=alpha u+alpha v, forall alpha in R e forall u, v in V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto satisfaz a propriedade para todo e para todos . Isso tá ligado à parte de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades que definem um espaço vetorial. Pra resolver isso, a gente precisa entender o que cada parte da propriedade significa e como aplicar no conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a propriedade . Essa é conhecida como distribuição do escalar sobre a adição vetorial. Em palavras simples, isso significa que quando você multiplica um escalar ( ) pela soma de dois vetores ( ), é igual a multiplicar o escalar por cada vetor individualmente e depois somar os resultados.

Passo 3

Agora, pra verificar se satisfaz essa propriedade, precisamos saber como a adição e a multiplicação por escalar são definidas em . Essas operações devem seguir as regras básicas de um espaço vetorial.
Vamos supor que seja um espaço vetorial comum, como , onde as operações são definidas da seguinte maneira:
  • Adição Vetorial:
  • Multiplicação por Escalar:

Passo 4

Vamos testar a propriedade usando essas definições:
  1. Calcular alpha(u + v) = alpha(u1 + v1, u2 + v2, ldots, un + vn) = (alpha(u1 + v1), alpha(u2 + v2), ldots, alpha(un + vn)) :
    alpha u + alpha v = (alpha u1, alpha u2, ldots, alpha un) + (alpha v1, alpha v2, ldots, alpha vn) = (alpha u1 + alpha v1, alpha u2 + alpha v2, ldots, alpha un + alpha vn)
  2. Calcular :

Passo 5

Agora, observamos que:
alpha(u + v) = (alpha(u1 + v1), alpha(u2 + v2), ldots, alpha(un + vn)) = (alpha u1 + alpha v1, alpha u2 + alpha v2, ldots, alpha un + alpha vn) = alpha u + alpha v
Ou seja, para todo e .

Resposta

Sim, o conjunto satisfaz a propriedade para todo e para todos .

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