Verifique se o conjunto V satisfaz cada uma das propriedades a seguir:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto
satisfaz a propriedade
para todo
e para todos
. Isso tá ligado à parte de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades que definem um espaço vetorial. Pra resolver isso, a gente precisa entender o que cada parte da propriedade significa e como aplicar no conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a propriedade
. Essa é conhecida como distribuição do escalar sobre a adição vetorial. Em palavras simples, isso significa que quando você multiplica um escalar (
) pela soma de dois vetores (
), é igual a multiplicar o escalar por cada vetor individualmente e depois somar os resultados.
Passo 3
Agora, pra verificar se
satisfaz essa propriedade, precisamos saber como a adição e a multiplicação por escalar são definidas em
. Essas operações devem seguir as regras básicas de um espaço vetorial.
Vamos supor que
seja um espaço vetorial comum, como
, onde as operações são definidas da seguinte maneira:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Passo 4
Vamos testar a propriedade usando essas definições:
-
Calcular
: -
Calcular
:
Passo 5
Agora, observamos que:
Ou seja,
para todo
e
.
Resposta
Sim, o conjunto
satisfaz a propriedade
para todo
e para todos
.