Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
(-2,3),(-4,6) subset R^2

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos decidir se os conjuntos (-2, 3), (-4, 6) em R^2 são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear que lidam com vetores e suas combinações.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) se nenhuma combinação linear dos vetores resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Por outro lado, é Linearmente Dependente (LD) se existe pelo menos uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto de vetores (-2, 3), (-4, 6). Queremos verificar se existe uma combinação dos vetores que resulte no vetor zero, ou seja:
a cdot (-2, 3) + b cdot (-4, 6) = (0, 0)
Onde a e b são escalares (números reais).

Passo 4

Vamos escrever isso em termos de componentes:
(-2a - 4b, 3a + 6b) = (0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. -2a - 4b = 0
  2. 3a + 6b = 0

Passo 5

Agora, resolvemos esse sistema para encontrar os valores de a e b.
Da primeira equação:
-2a - 4b = 0 Rightarrow -2a = 4b Rightarrow a = -2b

Passo 6

Substituímos a = -2b na segunda equação:
3(-2b) + 6b = 0 Rightarrow -6b + 6b = 0 Rightarrow 0 = 0

Passo 7

A equação resultante 0 = 0 é sempre verdadeira, o que significa que existem infinitas soluções para a e b, além da solução trivial a = 0, b = 0.

Resposta

Portanto, o conjunto (-2, 3), (-4, 6) é Linearmente Dependente (LD).

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