Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos decidir se os conjuntos
em
são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear que lidam com vetores e suas combinações.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) se nenhuma combinação linear dos vetores resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Por outro lado, é Linearmente Dependente (LD) se existe pelo menos uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto de vetores
. Queremos verificar se existe uma combinação dos vetores que resulte no vetor zero, ou seja:
Onde
e
são escalares (números reais).
Passo 4
Vamos escrever isso em termos de componentes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Da primeira equação:
Passo 6
Substituímos
na segunda equação:
Passo 7
A equação resultante
é sempre verdadeira, o que significa que existem infinitas soluções para
e
, além da solução trivial
,
.
Resposta
Portanto, o conjunto
é Linearmente Dependente (LD).
Exercícios relacionados
Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
.
Verifique quais propriedades de espaço vetorial o conjunto
satisfaz.
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
Considere os vetores
e
com
e sendo
ângulo entre eles. Calcule a àrea do paralelogramo determinado pelos vetores
.