Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos decidir se os conjuntos em são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear que lidam com vetores e suas combinações.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa um conjunto de vetores ser LI ou LD. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) se nenhuma combinação linear dos vetores resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Por outro lado, é Linearmente Dependente (LD) se existe pelo menos uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto de vetores . Queremos verificar se existe uma combinação dos vetores que resulte no vetor zero, ou seja:
Onde e são escalares (números reais).

Passo 4

Vamos escrever isso em termos de componentes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Agora, resolvemos esse sistema para encontrar os valores de e .
Da primeira equação:

Passo 6

Substituímos na segunda equação:

Passo 7

A equação resultante é sempre verdadeira, o que significa que existem infinitas soluções para e , além da solução trivial , .

Resposta

Portanto, o conjunto é Linearmente Dependente (LD).

Exercícios relacionados

Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
.
Verifique quais propriedades de espaço vetorial o conjunto satisfaz.
ÇÔ
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
Considere os vetores e com e sendo ângulo entre eles. Calcule a àrea do paralelogramo determinado pelos vetores .