Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
(-1,3,5),(2,-1,4),(8,-9,2) subset R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para decidir se o conjunto de vetores (-1,3,5),(2,-1,4),(8,-9,2) em R^3 é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre independência linear e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Caso contrário, é LD. Para verificar isso, uma maneira prática é montar uma matriz com os vetores e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores dados como colunas:
A = -1 & 2 & 8 3 & -1 & -9 5 & 4 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para nossa matriz:
a &= -1, b = 2, c = 8, d &= 3, e = -1, f = -9, g &= 5, h = 4, i = 2

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
ei - fh &= (-1)(2) - (-9)(4) = -2 + 36 = 34, di - fg &= 3(2) - (-9)(5) = 6 + 45 = 51, dh - eg &= 3(4) - (-1)(5) = 12 + 5 = 17

Passo 6

Substituindo na fórmula do determinante:
det(A) = (-1)(34) - 2(51) + 8(17) = -34 - 102 + 136 = 0

Passo 7

Como o determinante é igual a zero, isso significa que os vetores são Linearmente Dependentes (LD). Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Resposta

O conjunto (-1,3,5),(2,-1,4),(8,-9,2) é Linearmente Dependente (LD).

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