Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
U=(x, y, z) mid x, z in R e y in Z subset R^3 sendo Z o conjunto dos números inteiros. Diga com que U , geometricamente identifica-se e efetue um esboço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço de . Além disso, vamos entender como esse conjunto se parece geometricamente e fazer um esboço disso. Para isso, vamos lembrar o que é um subespaço e os critérios que ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechamento por adição: Se e estão no conjunto, então também deve estar.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: Se está no conjunto e é um número real, então também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a .
  • (real)
  • (inteiro, já que )
  • (real)
Tudo confere! Então, .

Passo 4

2. Verificando o fechamento por adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
onde
onde
Somando esses vetores:
Agora, vamos olhar para o componente :
é a soma de dois inteiros, que também é um inteiro.
Então, também está em . Isso mostra que é fechado por adição.

Passo 5

3. Verificando o fechamento por multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em :
onde
E um escalar qualquer .
Multiplicando o vetor pelo escalar:
Agora, vamos olhar para o componente :
precisa ser um inteiro para que esteja em .
Mas, como é qualquer número real e é um inteiro, nem sempre será inteiro. Por exemplo, se e , então , que é inteiro. Mas se e , então , que NÃO é inteiro.
Isso significa que não é fechado por multiplicação escalar.

Passo 6

Conclusão sobre ser um subespaço:
Como a terceira condição (fechamento por multiplicação escalar) não é satisfeita, podemos concluir que não é um subespaço de .

Passo 7

Identificando geometricamente :
Vamos entender como se parece no espaço tridimensional. O conjunto consiste em todos os pontos onde e podem ser quaisquer números reais, mas tem que ser um número inteiro.
Isso significa que para cada inteiro , há um “plano” infinito de pontos no espaço tridimensional onde é fixo. Então, é como várias camadas finas, uma para cada valor inteiro de .

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque não é fechado por multiplicação escalar. Geometricamente, se identifica com uma série de planos paralelos ao plano , cada um correspondente a um valor inteiro de . O esboço seria como várias folhas horizontais no espaço, uma para cada inteiro de .

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