Verifique se os conjuntos a seguir são subespaços:
e
sendo
o conjunto dos números inteiros. Diga com que U , geometricamente identifica-se e efetue um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Além disso, vamos entender como esse conjunto se parece geometricamente e fazer um esboço disso. Para isso, vamos lembrar o que é um subespaço e os critérios que ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechamento por adição: Se
e estão no conjunto, então também deve estar. - Fechamento por multiplicação escalar: Se
está no conjunto e é um número real, então também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
.
-
(real) -
(inteiro, já que ) -
(real)
Tudo confere! Então,
.
Passo 4
2. Verificando o fechamento por adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Somando esses vetores:
Agora, vamos olhar para o componente
:
Então,
também está em
. Isso mostra que
é fechado por adição.
Passo 5
3. Verificando o fechamento por multiplicação escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E um escalar qualquer
.
Multiplicando o vetor pelo escalar:
Agora, vamos olhar para o componente
:
Mas, como
é qualquer número real e
é um inteiro,
nem sempre será inteiro. Por exemplo, se
e
, então
, que é inteiro. Mas se
e
, então
, que NÃO é inteiro.
Isso significa que
não é fechado por multiplicação escalar.
Passo 6
Conclusão sobre ser um subespaço:
Como a terceira condição (fechamento por multiplicação escalar) não é satisfeita, podemos concluir que
não é um subespaço de
.
Passo 7
Identificando geometricamente
:
Vamos entender como
se parece no espaço tridimensional. O conjunto
consiste em todos os pontos
onde
e
podem ser quaisquer números reais, mas
tem que ser um número inteiro.
Isso significa que para cada inteiro
, há um “plano” infinito de pontos no espaço tridimensional onde
é fixo. Então,
é como várias camadas finas, uma para cada valor inteiro de
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque não é fechado por multiplicação escalar. Geometricamente,
se identifica com uma série de planos paralelos ao plano
, cada um correspondente a um valor inteiro de
. O esboço seria como várias folhas horizontais no espaço, uma para cada inteiro de
.