Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a matriz tem inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e métodos para calculá-las.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante dela é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
Passo 4
Como o determinante de é 1, que é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar essa inversa.
Passo 5
Para encontrar a inversa de uma matriz triangular superior, podemos usar o fato de que a inversa também será triangular superior. Vamos chamar a inversa de .
Passo 6
Sabemos que , onde é a matriz identidade. Vamos multiplicar pela e igualar ao identidade: