Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a matriz 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 tem inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e métodos para calculá-las.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 3
Como det(C) = 1 times 1 times 1 = 1 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante dela é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
Passo 4
Como o determinante de é 1, que é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar essa inversa.
Passo 5
Para encontrar a inversa de uma matriz triangular superior, podemos usar o fato de que a inversa também será triangular superior. Vamos chamar a inversa de a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f.
Passo 6
Sabemos que 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , onde é a matriz identidade. Vamos multiplicar pela e igualar ao identidade:
[
]
Passo 7
Fazendo a multiplicação das matrizes:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Passo 8
Agora, vamos resolver as equações:
De : substituindo , temos então
De : substituindo , temos então
De : substituindo e , temos então
Resposta
A matriz C^-1 = 1 & -2 & 5 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1 possui inversa, e a inversa é: