Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
c) C=(lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a matriz 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 tem inversa. Se tiver, a gente também vai encontrar essa inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e métodos para calculá-las.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

Como det(C) = 1 times 1 times 1 = 1 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante dela é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:

Passo 4

Como o determinante de é 1, que é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar essa inversa.

Passo 5

Para encontrar a inversa de uma matriz triangular superior, podemos usar o fato de que a inversa também será triangular superior. Vamos chamar a inversa de a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f.

Passo 6

Sabemos que 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , onde é a matriz identidade. Vamos multiplicar pela e igualar ao identidade:

[


]

Passo 7

Fazendo a multiplicação das matrizes:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:

Passo 8

Agora, vamos resolver as equações:
  1. De : substituindo , temos então
  2. De : substituindo , temos então
  3. De : substituindo e , temos então

Resposta

A matriz C^-1 = 1 & -2 & 5 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1 possui inversa, e a inversa é:

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