Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
(1,1,0),(1,4,5),(3,6,5) subset R^3

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente decidir se o conjunto de vetores (1,1,0), (1,4,5), (3,6,5) em R^3 é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Vamos precisar entender o que significa esses termos e como verificar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de vetores ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Por outro lado, é Linearmente Dependente (LD) se pelo menos um vetor pode ser expresso como combinação linear dos demais.

Passo 3

Para verificar isso, podemos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD.
Vamos montar a matriz:
1 & 1 & 3 1 & 4 & 6 0 & 5 & 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det = 1 times (4 times 5 - 6 times 5) - 1 times (1 times 5 - 6 times 0) + 3 times (1 times 5 - 4 times 0)
Simplificando:
det = 1 times (20 - 30) - 1 times (5 - 0) + 3 times (5 - 0) = 1 times (-10) - 1 times 5 + 3 times 5 = -10 - 5 + 15 = 0

Passo 4

Como o determinante da matriz é igual a zero, isso significa que os vetores são Linearmente Dependentes (LD).

Resposta

Os vetores (1,1,0), (1,4,5), (3,6,5) são Linearmente Dependentes (LD) em R^3.

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