Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a adição e multiplicação por escalar em
por
.
Usamos o símbolo
para denotar a operação de adição neste sistema para evitar confusão com a adição usual
de vetores linha. Mostre que
, com a multiplicação por escalar ordinária e a operação de adição
, não é um espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não é satisfeito?
Usamos o símbolo
Passo 1
Então, o que temos aqui é o conjunto
de todos os pares ordenados de números reais, ou seja, todos os pontos
onde
e
são números reais. A gente definiu duas operações nesse conjunto:
- Multiplicação por escalar: Para um escalar
e um par , a multiplicação é . - Adição: Para dois pares
e , a adição é .
A nossa missão é descobrir se
, com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar os oito axiomas que definem um espaço vetorial e ver quais deles não são satisfeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os oito axiomas de um espaço vetorial:
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Existência do elemento neutro: Existe um vetor
tal que . - Existência de inversos aditivos: Para cada
, existe tal que . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar:
. - Compatibilidade da multiplicação por escalares:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar quais desses axiomas não são satisfeitos pelo conjunto
com as operações definidas.
Passo 3
Axioma 1: Comutatividade da adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
.
Calculando
.
E
.
Como
, esse axioma é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Associatividade da adição
Vamos pegar três vetores
,
, e
.
Calculando
:
Primeiro, .
Depois, .
Primeiro,
Depois,
Agora, calculando
:
Primeiro, .
Depois, .
Primeiro,
Depois,
Como a operação de adição no primeiro componente é associativa, esse axioma também é satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Existência do elemento neutro
Precisamos encontrar um vetor
tal que para todo
,
.
Calculando:
.
Para que isso seja igual a
, precisamos que:
-
. -
.
Mas o segundo componente só será igual para todos os
se
para todo
, o que não é o caso. Portanto, não existe um elemento neutro que funcione para todo
.
Passo 6
Axioma 4: Existência de inversos aditivos
Mesmo que o axioma do elemento neutro não seja satisfeito, vamos verificar o inverso aditivo.
Para um vetor
, precisamos de um vetor
tal que
.
Calculando:
.
Para que isso seja igual a
, precisaríamos que
e
. Mas
não necessariamente é zero, então não conseguimos sempre encontrar tal inverso.
Passo 7
Axioma 5: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Vamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
.
Calculando o lado direito:
.
Os dois lados são iguais, então esse axioma é satisfeito.
Passo 8
Axioma 6: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar
Vamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
.
Calculando o lado direito:
.
Para que os dois lados sejam iguais, precisaríamos que
para todo
, o que não é verdade a menos que
. Portanto, esse axioma não é satisfeito.
Passo 9
Axioma 7: Compatibilidade da multiplicação por escalares
Vamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
.
Calculando o lado direito:
.
Os dois lados são iguais, então esse axioma é satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Vamos verificar se
.
Calculando:
.
Esse axioma é satisfatório.
Resposta
O conjunto
, com a multiplicação por escalar ordinária e a operação de adição
, não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são satisfeitos são:
- Axioma 3: Não existe elemento neutro para a adição.
- Axioma 4: Não existem inversos aditivos para todos os vetores.
- Axioma 6: A distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar não é válida.