Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a adição e multiplicação por escalar em por .
Usamos o símbolo para denotar a operação de adição neste sistema para evitar confusão com a adição usual de vetores linha. Mostre que , com a multiplicação por escalar ordinária e a operação de adição , não é um espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não é satisfeito?
Passo 1
Então, o que temos aqui é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja, todos os pontos onde e são números reais. A gente definiu duas operações nesse conjunto:
Multiplicação por escalar: Para um escalar e um par , a multiplicação é .
Adição: Para dois pares e , a adição é .
A nossa missão é descobrir se , com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar os oito axiomas que definem um espaço vetorial e ver quais deles não são satisfeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os oito axiomas de um espaço vetorial:
Comutatividade da adição: .
Associatividade da adição: .
Existência do elemento neutro: Existe um vetor tal que .
Existência de inversos aditivos: Para cada , existe tal que .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial: .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar: .
Compatibilidade da multiplicação por escalares: .
Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar quais desses axiomas não são satisfeitos pelo conjunto com as operações definidas.
Passo 3
Axioma 1: Comutatividade da adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer e .
Calculando .
E .
Como , esse axioma é satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Associatividade da adição
Vamos pegar três vetores , , e .
Calculando :
Primeiro, .
Depois, .
Agora, calculando :
Primeiro, .
Depois, .
Como a operação de adição no primeiro componente é associativa, esse axioma também é satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Existência do elemento neutro
Precisamos encontrar um vetor tal que para todo , .
Calculando: .
Para que isso seja igual a , precisamos que:
.
.
Mas o segundo componente só será igual para todos os se para todo , o que não é o caso. Portanto, não existe um elemento neutro que funcione para todo .
Passo 6
Axioma 4: Existência de inversos aditivos
Mesmo que o axioma do elemento neutro não seja satisfeito, vamos verificar o inverso aditivo.
Para um vetor , precisamos de um vetor tal que .
Calculando: .
Para que isso seja igual a , precisaríamos que e . Mas não necessariamente é zero, então não conseguimos sempre encontrar tal inverso.
Passo 7
Axioma 5: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo: .
Calculando o lado direito: .
Os dois lados são iguais, então esse axioma é satisfeito.
Passo 8
Axioma 6: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo: .
Calculando o lado direito: .
Para que os dois lados sejam iguais, precisaríamos que para todo , o que não é verdade a menos que . Portanto, esse axioma não é satisfeito.
Passo 9
Axioma 7: Compatibilidade da multiplicação por escalares
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo: .
Calculando o lado direito: .
Os dois lados são iguais, então esse axioma é satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Vamos verificar se .
Calculando: .
Esse axioma é satisfatório.
Resposta
O conjunto , com a multiplicação por escalar ordinária e a operação de adição , não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são satisfeitos são:
Axioma 3: Não existe elemento neutro para a adição.
Axioma 4: Não existem inversos aditivos para todos os vetores.
Axioma 6: A distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar não é válida.