Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a adição e multiplicação por escalar em por .
Usamos o símbolo para denotar a operação de adição neste sistema para evitar confusão com a adição usual de vetores linha. Mostre que , com a multiplicação por escalar ordinária e a operação de adição , não é um espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não é satisfeito?

Passo 1

Então, o que temos aqui é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, ou seja, todos os pontos onde e são números reais. A gente definiu duas operações nesse conjunto:
  • Multiplicação por escalar: Para um escalar e um par , a multiplicação é .
  • Adição: Para dois pares e , a adição é .
A nossa missão é descobrir se , com essas operações, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos verificar os oito axiomas que definem um espaço vetorial e ver quais deles não são satisfeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os oito axiomas de um espaço vetorial:
  1. Comutatividade da adição: .
  2. Associatividade da adição: .
  3. Existência do elemento neutro: Existe um vetor tal que .
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada , existe tal que .
  5. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial: .
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar: .
  7. Compatibilidade da multiplicação por escalares: .
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar quais desses axiomas não são satisfeitos pelo conjunto com as operações definidas.

Passo 3

Axioma 1: Comutatividade da adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer e .
Calculando .
E .
Como , esse axioma é satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Associatividade da adição
Vamos pegar três vetores , , e .
Calculando :
Primeiro, .
Depois, .
Agora, calculando :
Primeiro, .
Depois, .
Como a operação de adição no primeiro componente é associativa, esse axioma também é satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Existência do elemento neutro
Precisamos encontrar um vetor tal que para todo , .
Calculando:
.
Para que isso seja igual a , precisamos que:
  • .
  • .
Mas o segundo componente só será igual para todos os se para todo , o que não é o caso. Portanto, não existe um elemento neutro que funcione para todo §.

Passo 6

Axioma 4: Existência de inversos aditivos
Mesmo que o axioma do elemento neutro não seja satisfeito, vamos verificar o inverso aditivo.
Para um vetor , precisamos de um vetor tal que .
Calculando:
.
Para que isso seja igual a , precisaríamos que e . Mas não necessariamente é zero, então não conseguimos sempre encontrar tal inverso.

Passo 7

Axioma 5: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
.
Calculando o lado direito:
.
Os dois lados são iguais, então esse axioma é satisfeito.

Passo 8

Axioma 6: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
.
Calculando o lado direito:
.
Para que os dois lados sejam iguais, precisaríamos que para todo , o que não é verdade a menos que . Portanto, esse axioma não é satisfeito.

Passo 9

Axioma 7: Compatibilidade da multiplicação por escalares
Vamos verificar se .
Calculando o lado esquerdo:
.
Calculando o lado direito:
.
Os dois lados são iguais, então esse axioma é satisfeito.

Passo 10

Axioma 8: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Vamos verificar se .
Calculando:
.
Esse axioma é satisfatório.

Resposta

O conjunto , com a multiplicação por escalar ordinária e a operação de adição , não é um espaço vetorial. Os axiomas que não são satisfeitos são:
  • Axioma 3: Não existe elemento neutro para a adição.
  • Axioma 4: Não existem inversos aditivos para todos os vetores.
  • Axioma 6: A distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição escalar não é válida.

Exercícios relacionados

Dadas , e .
b) Calcule e e compare os resultados com as matrizes e .
Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
Escalone as matrizes abaixo e determine seus respectivos postos.
b) .
Seja um espaço vetorial e seja . Mostre que:
  • para todo , com 0 elemento neutro de .
  • Se , então ou ou , onde e 0 elemento neutro de