Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
, sabendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se existe algum ponto onde a função
não seja contínua e também para calcular o limite
. A gente vai usar conceitos de continuidade e limites, que fazem parte do estudo de cálculo. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites usando desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Agora, olhando para o exercício, precisamos verificar se essas condições são atendidas em todos os pontos da função
.
Passo 3
A função
é descrita como uma semireta, o que geralmente significa que ela está definida para
ou
. Além disso, temos a condição
. Isso nos dá uma ideia de como
se comporta próximo a
.
Passo 4
Vamos focar no limite
. A condição
pode ser reescrita como:
Isso implica que:
Quando
se aproxima de 0 pela direita (
),
tende a 0, então:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade em
. Precisamos dos três requisitos:
-
está definida? Como a função é uma semireta e estamos considerando , vamos supor que (já que ). -
O limite existe? Sim, como calculamos,
. -
O limite é igual ao valor da função? Sim,
e o limite também é 3.
Passo 6
Como todas as condições para continuidade em
são satisfeitas e a função é uma semireta (provavelmente contínua em outros pontos também), não existe nenhum ponto onde a função
não seja contínua.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos considerados, e
.
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Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
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Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
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Especifique o dominio da função: