Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique. lim x 0^+ f(x), sabendo que o gráfico de f é uma semireta e tal que |f(x)-3| <= x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar se existe algum ponto onde a função não seja contínua e também para calcular o limite . A gente vai usar conceitos de continuidade e limites, que fazem parte do estudo de cálculo. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites usando desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Agora, olhando para o exercício, precisamos verificar se essas condições são atendidas em todos os pontos da função .

Passo 3

A função é descrita como uma semireta, o que geralmente significa que ela está definida para ou . Além disso, temos a condição . Isso nos dá uma ideia de como se comporta próximo a .

Passo 4

Vamos focar no limite - x <= f(x) - 3 <= x . A condição 3 - x <= f(x) <= 3 + x pode ser reescrita como:
3 - 0 <= limx 0^+ f(x) <= 3 + 0
Isso implica que:
limx 0^+ f(x) = 3
Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), tende a 0, então:
Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade em . Precisamos dos três requisitos:
  1. está definida? Como a função é uma semireta e estamos considerando , vamos supor que (já que ).
  2. O limite existe? Sim, como calculamos, .
  3. O limite é igual ao valor da função? Sim, e o limite também é 3.

Passo 6

Como todas as condições para continuidade em são satisfeitas e a função é uma semireta (provavelmente contínua em outros pontos também), não existe nenhum ponto onde a função não seja contínua.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos considerados, e .

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