Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique. lim x 0^+ f(x), sabendo que o gráfico de f é uma semireta e tal que |f(x)-3| <= x

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente dar um exemplo de um ponto onde a função é contínua e justificar isso. Além disso, precisamos considerar o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Sabemos que o gráfico de é uma semireta e que . Vamos precisar entender o conceito de continuidade e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função limx a f(x) = f(a) é contínua em se o limite de quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos encontrar um ponto onde isso acontece.

Passo 3

Sabemos que o gráfico de é uma semireta. Isso geralmente significa que a função é linear em algum intervalo. Além disso, temos a condição . Vamos usar essa informação para encontrar o limite quando se aproxima de 0 pela direita.

Passo 4

Vamos analisar a desigualdade . Essa desigualdade nos diz que a diferença entre e 3 é, no máximo, igual a . Isso implica que está muito próximo de 3 quando é próximo de 0.

Passo 5

Podemos reescrever a desigualdade para encontrar limites superiores e inferiores para - x <= f(x) - 3 <= x :
3 - x <= f(x) <= 3 + x
Somando 3 a todos os lados:
limx 0^+ (3 - x) = 3
Agora, vamos calcular o limite de limx 0^+ (3 + x) = 3 quando limx 0^+ f(x) = 3 se aproxima de 0 pela direita:
Como está entre e , pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), temos:

Passo 6

Agora, para a função ser contínua em limx 0 f(x) = f(0) , precisamos que:
limx 0^+ f(x) = 3
Já sabemos que:
Então, basta definir para garantir a continuidade nesse ponto.

Resposta

Um exemplo de ponto onde a função é contínua é . Isso porque e definindo , temos que , garantindo a continuidade da função em .

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