Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
, sabendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente dar um exemplo de um ponto onde a função é contínua e justificar isso. Além disso, precisamos considerar o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
). Sabemos que o gráfico de
é uma semireta e que
. Vamos precisar entender o conceito de continuidade e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos encontrar um ponto onde isso acontece.
Passo 3
Sabemos que o gráfico de
é uma semireta. Isso geralmente significa que a função é linear em algum intervalo. Além disso, temos a condição
. Vamos usar essa informação para encontrar o limite quando
se aproxima de 0 pela direita.
Passo 4
Vamos analisar a desigualdade
. Essa desigualdade nos diz que a diferença entre
e 3 é, no máximo, igual a
. Isso implica que
está muito próximo de 3 quando
é próximo de 0.
Passo 5
Podemos reescrever a desigualdade para encontrar limites superiores e inferiores para
:
Somando 3 a todos os lados:
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita:
Como
está entre
e
, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), temos:
Passo 6
Agora, para a função ser contínua em
, precisamos que:
Já sabemos que:
Então, basta definir
para garantir a continuidade nesse ponto.
Resposta
Um exemplo de ponto onde a função é contínua é
. Isso porque
e definindo
, temos que
, garantindo a continuidade da função em
.
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