Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique. , sabendo que o gráfico de é uma semireta e tal que

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente dar um exemplo de um ponto onde a função é contínua e justificar isso. Além disso, precisamos considerar o limite de quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Sabemos que o gráfico de é uma semireta e que . Vamos precisar entender o conceito de continuidade e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de existe e é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos encontrar um ponto onde isso acontece.

Passo 3

Sabemos que o gráfico de é uma semireta. Isso geralmente significa que a função é linear em algum intervalo. Além disso, temos a condição . Vamos usar essa informação para encontrar o limite quando se aproxima de 0 pela direita.

Passo 4

Vamos analisar a desigualdade . Essa desigualdade nos diz que a diferença entre e 3 é, no máximo, igual a . Isso implica que está muito próximo de 3 quando é próximo de 0.

Passo 5

Podemos reescrever a desigualdade para encontrar limites superiores e inferiores para :
Somando 3 a todos os lados:
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 pela direita:
Como está entre e , pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), temos:

Passo 6

Agora, para a função ser contínua em , precisamos que:
Já sabemos que:
Então, basta definir para garantir a continuidade nesse ponto.

Resposta

Um exemplo de ponto onde a função é contínua é . Isso porque e definindo , temos que , garantindo a continuidade da função em .

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