Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um ponto onde a função seja contínua e justificar isso. A função que estamos analisando é
, e o ponto em questão é quando
se aproxima de 0. Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se:
- A função está definida em
, ou seja, existe. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual a .
Então, para
, precisamos verificar esses três pontos.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 0:
Para calcular esse limite, podemos usar a expansão da série de Taylor para o cosseno:
Substituindo isso na nossa função:
Então,
Passo 4
Agora, para garantir que a função seja contínua em
, precisamos definir
de forma que:
Com essa definição, a função está definida em
, o limite existe e é igual a
, cumprindo assim as condições de continuidade.
Resposta
A função
é contínua no ponto
se definirmos
. Isso garante que o limite quando
se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0, estabelecendo a continuidade.
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Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
, sabendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
, sabendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Especifique o dominio da função:
Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.