Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um ponto onde a função seja contínua e justificar isso. A função que estamos analisando é , e o ponto em questão é quando se aproxima de 0. Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. A função está definida em , ou seja, existe.
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual a .
Então, para , precisamos verificar esses três pontos.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0:
Para calcular esse limite, podemos usar a expansão da série de Taylor para o cosseno:
Substituindo isso na nossa função:
Então,

Passo 4

Agora, para garantir que a função seja contínua em , precisamos definir de forma que:
Com essa definição, a função está definida em , o limite existe e é igual a , cumprindo assim as condições de continuidade.

Resposta

A função é contínua no ponto se definirmos . Isso garante que o limite quando se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0, estabelecendo a continuidade.

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Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique. , sabendo que o gráfico de é uma semireta e tal que
Especifique o dominio da função:
Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.