Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique. lim x 0 1-cos xx^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um ponto onde a função seja contínua e justificar isso. A função que estamos analisando é 1 - cos xx^2, e o ponto em questão é quando x se aproxima de 0. Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em x = a se:
  1. A função está definida em a, ou seja, f(a) existe.
  2. O limite da função quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite da função quando x se aproxima de a é igual a f(a).
Então, para x = 0, precisamos verificar esses três pontos.

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 0:
limx 0 1 - cos xx^2
Para calcular esse limite, podemos usar a expansão da série de Taylor para o cosseno:
cos x approx 1 - x^22 + x^424 - dots
Substituindo isso na nossa função:
1 - cos xx^2 approx 1 - (1 - x^22)x^2 = x^22x^2 = 12
Então,
limx 0 1 - cos xx^2 = 12

Passo 4

Agora, para garantir que a função seja contínua em x = 0, precisamos definir f(0) de forma que:
f(0) = limx 0 1 - cos xx^2 = 12
Com essa definição, a função está definida em 0, o limite existe e é igual a f(0), cumprindo assim as condições de continuidade.

Resposta

A função 1 - cos xx^2 é contínua no ponto x = 0 se definirmos f(0) = 12. Isso garante que o limite quando x se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0, estabelecendo a continuidade.

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