Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe algum ponto onde a função
não é contínua. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre continuidade de funções e limites. Precisamos entender onde a função pode ter problemas, como divisões por zero ou radicais de números negativos, e também calcular o limite dado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Dentro da raiz quadrada, temos a fração
. Para que a função seja real e definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero.
Como
é sempre positivo ou zero, e
é sempre positivo (já que
é pelo menos zero e adicionamos 3), a fração será sempre positiva. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “quebras”. Observando a nossa função, ela é composta por funções contínuas: uma divisão, a função quadrática
e a raiz quadrada, que neste caso é contínua porque o que está dentro dela nunca é negativo.
Passo 5
Como a função está definida para todos os valores reais de
e é composta por funções contínuas, concluímos que a função
é contínua em todo seu domínio, ou seja, para todos os valores de
.
Passo 6
Por fim, vamos calcular o limite da função quando
tende ao infinito positivo:
Primeiro, simplificamos a expressão:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero. Então, a expressão dentro da raiz tende a 1.
Portanto:
Resposta
A função
é contínua para todos os valores reais de
e o limite quando
tende ao infinito positivo é igual a 1.
Exercícios relacionados
Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
Especifique o dominio da função:
Especifique o dominio da função:
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.