Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe algum ponto onde a função não é contínua. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre continuidade de funções e limites. Precisamos entender onde a função pode ter problemas, como divisões por zero ou radicais de números negativos, e também calcular o limite dado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Dentro da raiz quadrada, temos a fração . Para que a função seja real e definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero.
Como é sempre positivo ou zero, e é sempre positivo (já que é pelo menos zero e adicionamos 3), a fração será sempre positiva. Portanto, a função está definida para todos os valores reais de .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “quebras”. Observando a nossa função, ela é composta por funções contínuas: uma divisão, a função quadrática e a raiz quadrada, que neste caso é contínua porque o que está dentro dela nunca é negativo.

Passo 5

Como a função está definida para todos os valores reais de e é composta por funções contínuas, concluímos que a função é contínua em todo seu domínio, ou seja, para todos os valores de .

Passo 6

Por fim, vamos calcular o limite da função quando tende ao infinito positivo:
Primeiro, simplificamos a expressão:
Quando tende ao infinito, tende a zero. Então, a expressão dentro da raiz tende a 1.
Portanto:

Resposta

A função é contínua para todos os valores reais de e o limite quando tende ao infinito positivo é igual a 1.

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Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
Especifique o dominio da função:
Especifique o dominio da função:
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.