Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre continuidade de funções. A questão pede para dar um exemplo de um ponto onde a função
é contínua e justificar. A função é definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar em quais pontos essa condição é satisfeita para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se três condições forem satisfeitas:
- Existência de
: O valor da função em está definido. - Existência do limite de
quando se aproxima de : existe. - Igualdade entre o valor da função e o limite:
.
Neste exercício, queremos encontrar um ponto onde a função é contínua. Vamos analisar a função para diferentes valores de
.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade para
e
:
-
Para
: A função é , que é um polinômio. Polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio. Portanto, qualquer ponto onde será um ponto de continuidade. -
Para
: A função é , que também é um polinômio (na verdade, uma função linear). Assim, também é contínua em todos os pontos onde .
Passo 4
Vamos escolher um exemplo específico para ilustrar. Vamos considerar
:
-
Existência de
: Como , usamos , então . -
Cálculo do limite quando
se aproxima de 0: -
Comparação:As três condições de continuidade são satisfeitas.
Resposta
A função
é contínua no ponto
porque o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,
.
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Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
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sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que