Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre continuidade de funções. A questão pede para dar um exemplo de um ponto onde a função é contínua e justificar. A função é definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e verificar em quais pontos essa condição é satisfeita para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. Existência de : O valor da função em está definido.
  2. Existência do limite de quando se aproxima de : existe.
  3. Igualdade entre o valor da função e o limite: .
Neste exercício, queremos encontrar um ponto onde a função é contínua. Vamos analisar a função para diferentes valores de .

Passo 3

Vamos verificar a continuidade para e :
  • Para : A função é , que é um polinômio. Polinômios são contínuos em todos os pontos do seu domínio. Portanto, qualquer ponto onde será um ponto de continuidade.
  • Para : A função é , que também é um polinômio (na verdade, uma função linear). Assim, também é contínua em todos os pontos onde .

Passo 4

Vamos escolher um exemplo específico para ilustrar. Vamos considerar :
  • Existência de : Como , usamos , então .
  • Cálculo do limite quando se aproxima de 0:
  • Comparação:
    As três condições de continuidade são satisfeitas.

Resposta

A função é contínua no ponto porque o limite de quando se aproxima de 0 é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

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