Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para decidir se existe algum ponto onde a função
não seja contínua. A função dada é:
Matéria envolvida: Continuidade de funções, especialmente funções definidas por partes.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser contínua e verificar se a função
atende a essa condição em todos os seus pontos.
Passo 2
Primeiro, o que é uma função contínua? Basicamente, uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis. Formalmente,
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função dada. Ela é definida de duas formas diferentes: uma para
e outra para
. O ponto onde a definição muda é
. Então, é nesse ponto que devemos prestar atenção para verificar a continuidade.
Passo 4
Vamos verificar as condições de continuidade em
:
-
está definida?
Olhando a função, ela só dá valores parae . Não há definição para . Então, não está definida. -
O limite quando
se aproxima de 1 existe?
Precisamos calcular o limite pela esquerda () e pela direita ( ). -
Limite pela esquerda (
):
, então: -
Limite pela direita (
):
, então:
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais (), o limite geral não existe. -
-
O limite é igual a
?
Não podemos comparar porquenão está definida.
Passo 5
Como vimos:
-
não está definida. - O limite de
quando se aproxima de 1 não existe.
Portanto, pelo menos uma das condições para a continuidade não é satisfeita.
Resposta
A função
não é contínua em
.
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Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
Especifique o dominio da função:
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sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
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