Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para decidir se existe algum ponto onde a função não seja contínua. A função dada é:
Matéria envolvida: Continuidade de funções, especialmente funções definidas por partes.
O que vamos precisar: Entender o que significa uma função ser contínua e verificar se a função atende a essa condição em todos os seus pontos.

Passo 2

Primeiro, o que é uma função contínua? Basicamente, uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis. Formalmente, é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função dada. Ela é definida de duas formas diferentes: uma para e outra para . O ponto onde a definição muda é . Então, é nesse ponto que devemos prestar atenção para verificar a continuidade.

Passo 4

Vamos verificar as condições de continuidade em :
  1. está definida?
    Olhando a função, ela só dá valores para e . Não há definição para . Então, não está definida.
  2. O limite quando se aproxima de 1 existe?
    Precisamos calcular o limite pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
    • Limite pela esquerda ( ):
      , então:
    • Limite pela direita ( ):
      , então:
    Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais ( ), o limite geral não existe.
  3. O limite é igual a ?
    Não podemos comparar porque não está definida.

Passo 5

Como vimos:
  • não está definida.
  • O limite de quando se aproxima de 1 não existe.
Portanto, pelo menos uma das condições para a continuidade não é satisfeita.

Resposta

A função não é contínua em .

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