Especifique o dominio da função: sendo que o gráfico de é uma semireta e tal que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função , sabendo que o gráfico dessa função é uma semireta e que ela satisfaz a condição . Aqui, vamos usar conceitos de função, desigualdades e propriedades das semiretas para descobrir quais valores de estão permitidos nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa desigualdade nos diz que a distância entre e 3 é, no máximo, . Ou seja, está entre e . Matemáticamente, isso pode ser escrito como:

Passo 3

Sabendo que o gráfico de é uma semireta, isso significa que pode ser expressa como uma função linear da forma:
onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Porém, como é uma semireta, isso implica que a função é válida para valores de a partir de um ponto inicial, ou seja, .

Passo 4

Vamos substituir na desigualdade pela expressão da semireta:
Essa dupla desigualdade nos ajudará a encontrar restrições sobre .

Passo 5

Agora, vamos resolver as duas partes da desigualdade separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 6

Vamos resolver a primeira desigualdade:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :

Passo 7

Agora, resolvemos a segunda desigualdade:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :

Passo 8

Para que ambas as desigualdades sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos considerar os valores de que satisfazem ambas. Como estamos lidando com uma semireta, vamos considerar que é limitado a valores positivos ou a partir de um certo ponto.

Passo 9

Então, combinando as duas desigualdades e considerando que a semireta começa a partir de um ponto onde as condições são satisfeitas, podemos concluir que o domínio da função é:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja:

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