Especifique o dominio da função:
sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
, sabendo que o gráfico dessa função é uma semireta e que ela satisfaz a condição
. Aqui, vamos usar conceitos de função, desigualdades e propriedades das semiretas para descobrir quais valores de
estão permitidos nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa desigualdade nos diz que a distância entre
e 3 é, no máximo,
. Ou seja,
está entre
e
. Matemáticamente, isso pode ser escrito como:
Passo 3
Sabendo que o gráfico de
é uma semireta, isso significa que
pode ser expressa como uma função linear da forma:
onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear. Porém, como é uma semireta, isso implica que a função é válida para valores de
a partir de um ponto inicial, ou seja,
.
Passo 4
Vamos substituir
na desigualdade
pela expressão da semireta:
Essa dupla desigualdade nos ajudará a encontrar restrições sobre
.
Passo 5
Agora, vamos resolver as duas partes da desigualdade separadamente.
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 6
Vamos resolver a primeira desigualdade:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, resolvemos a segunda desigualdade:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Passo 8
Para que ambas as desigualdades sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos considerar os valores de
que satisfazem ambas. Como estamos lidando com uma semireta, vamos considerar que
é limitado a valores positivos ou a partir de um certo ponto.
Passo 9
Então, combinando as duas desigualdades e considerando que a semireta começa a partir de um ponto onde as condições são satisfeitas, podemos concluir que o domínio da função
é:
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais maiores ou iguais a zero, ou seja:
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Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
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sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
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