Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique. sendo que o gráfico de é uma semireta e tal que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função cujo gráfico é uma semireta, ou seja, uma linha que começa em um ponto e se estende infinitamente em uma direção. Além disso, sabemos que para todo , a desigualdade se mantém. Nosso objetivo é encontrar um ponto onde essa função é contínua e justificar por que ela é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como essa desigualdade nos ajuda a determinar a forma da função.

Passo 2

Vamos começar analisando a desigualdade . Isso significa que a distância entre e 3 é no máximo . Podemos reescrever essa desigualdade da seguinte forma:
Adicionando 3 a todos os lados, obtemos:
Isso nos mostra que está limitada entre e .

Passo 3

Sabemos que o gráfico de é uma semireta. Isso geralmente significa que a função é definida para ou , onde é o ponto inicial da semireta. Vamos assumir que a semireta começa em para simplificar.
Considerando , a desigualdade fica:
Portanto, o ponto inicial da semireta é .

Passo 4

Para que a função seja contínua em um ponto, ela precisa satisfazer três condições:
  1. A função está definida no ponto.
  2. O limite da função existe no ponto.
  3. O limite da função é igual ao valor da função no ponto.
Vamos verificar essas condições para .
  1. Função definida em : Já vimos que , então está definida.
  2. Existe o limite em : Como a semireta está definida para , o limite quando se aproxima de 0 pela direita é .
  3. Limite igual ao valor da função: O limite é 3 e , então estão iguais.

Resposta

A função é contínua no ponto . Isso ocorre porque a função está definida nesse ponto, o limite quando se aproxima de 0 pela direita é igual a 3, e esse limite coincide com o valor da função em .

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Especifique o dominio da função: sendo que o gráfico de é uma semireta e tal que
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Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique. sendo que o gráfico de é uma semireta e tal que
Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.