Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
cujo gráfico é uma semireta, ou seja, uma linha que começa em um ponto e se estende infinitamente em uma direção. Além disso, sabemos que para todo
, a desigualdade
se mantém. Nosso objetivo é encontrar um ponto onde essa função é contínua e justificar por que ela é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e como essa desigualdade nos ajuda a determinar a forma da função.
Passo 2
Vamos começar analisando a desigualdade
. Isso significa que a distância entre
e 3 é no máximo
. Podemos reescrever essa desigualdade da seguinte forma:
Adicionando 3 a todos os lados, obtemos:
Isso nos mostra que
está limitada entre
e
.
Passo 3
Sabemos que o gráfico de
é uma semireta. Isso geralmente significa que a função é definida para
ou
, onde
é o ponto inicial da semireta. Vamos assumir que a semireta começa em
para simplificar.
Considerando
, a desigualdade fica:
Portanto, o ponto inicial da semireta é
.
Passo 4
Para que a função seja contínua em um ponto, ela precisa satisfazer três condições:
- A função está definida no ponto.
- O limite da função existe no ponto.
- O limite da função é igual ao valor da função no ponto.
Vamos verificar essas condições para
.
- Função definida em
: Já vimos que , então está definida. - Existe o limite em
: Como a semireta está definida para , o limite quando se aproxima de 0 pela direita é . - Limite igual ao valor da função: O limite é 3 e
, então estão iguais.
Resposta
A função
é contínua no ponto
. Isso ocorre porque a função está definida nesse ponto, o limite quando
se aproxima de 0 pela direita é igual a 3, e esse limite coincide com o valor da função em
.
Exercícios relacionados
Especifique o dominio da função:
sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.