Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se existe algum ponto onde a função não é contínua. Aqui, estamos trabalhando com análise de continuidade de funções matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e como analisar se a função tem algum ponto problemático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em : ou seja, existe.
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função no ponto: .
Se faltar alguma dessas condições, a função não é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Observando o denominador , notamos que ele é igual a zero quando . Isso significa que a função não está definida em , já que não podemos dividir por zero. Então, nosso primeiro ponto suspeito é .

Passo 4

Para os demais valores de (diferentes de zero), tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas. Já que a divisão de duas funções contínuas (quando o denominador não é zero) também é contínua, concluímos que a função é contínua em todo lugar, exceto possivelmente em .

Passo 5

Vamos verificar se a função pode ser contínua em mesmo com a divisão por zero. Para isso, precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0:
Usando a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos uma forma indeterminada como , derivamos o numerador e o denominador:
Primeira derivada:
Ainda é uma forma , aplicamos L’Hôpital novamente:
Segunda derivada:

Passo 6

Então, o limite da função quando se aproxima de 0 é . Isso significa que a função pode ser estendida a definindo . Com essa definição, a função se torna contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função é descontínua apenas em , já que nesse ponto ela não está definida. Porém, essa descontinuidade é removível, pois o limite existe e pode ser igualado ao valor da função definindo .

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