Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se existe algum ponto onde a função
não é contínua. Aqui, estamos trabalhando com análise de continuidade de funções matemáticas. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e como analisar se a função tem algum ponto problemático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
: ou seja, existe. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função no ponto:
.
Se faltar alguma dessas condições, a função não é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Observando o denominador
, notamos que ele é igual a zero quando
. Isso significa que a função não está definida em
, já que não podemos dividir por zero. Então, nosso primeiro ponto suspeito é
.
Passo 4
Para os demais valores de
(diferentes de zero), tanto o numerador
quanto o denominador
são funções contínuas. Já que a divisão de duas funções contínuas (quando o denominador não é zero) também é contínua, concluímos que a função
é contínua em todo lugar, exceto possivelmente em
.
Passo 5
Vamos verificar se a função pode ser contínua em
mesmo com a divisão por zero. Para isso, precisamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 0:
Usando a regra de L’Hôpital, que é aplicada quando temos uma forma indeterminada como
, derivamos o numerador e o denominador:
Primeira derivada:
Ainda é uma forma
, aplicamos L’Hôpital novamente:
Segunda derivada:
Passo 6
Então, o limite da função quando
se aproxima de 0 é
. Isso significa que a função pode ser estendida a
definindo
. Com essa definição, a função se torna contínua em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é descontínua apenas em
, já que nesse ponto ela não está definida. Porém, essa descontinuidade é removível, pois o limite existe e pode ser igualado ao valor da função definindo
.
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Decida se existe algum ponto onde a funçã NÃO seja contínua, justifique.
sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
sendo que o gráfico de
é uma semireta e tal que
Especifique o dominio da função: