Especifique o dominio da função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa função está definida. Vamos precisar usar conceitos de funções racionais e propriedades das raízes quadradas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os números que podemos colocar na função sem causar problemas, como divisão por zero ou tirar a raiz de um número negativo.
No nosso caso, temos uma fração dentro da raiz quadrada: . Precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque dividir por zero não é permitido.
Então, vamos resolver a seguinte equação para garantir que o denominador não seja zero:

Passo 3

Resolvendo :
Subtraímos 3 de ambos os lados:
Sabemos que sempre é maior ou igual a zero para qualquer número real . Portanto, nunca será igual a -3. Isso significa que o denominador nunca será zero para nenhum valor real de . Então, não temos restrições aí.

Passo 4

Agora, precisamos garantir que a expressão dentro da raiz quadrada seja não negativa, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Ou seja, precisamos que:
Vamos analisar essa fração. O numerador é sempre maior ou igual a zero, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. O denominador também é sempre positivo, porque adicionamos 3 a , que já é positivo ou zero.
Então, temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são sempre positivos ou zero. Isso significa que a fração inteira será sempre maior ou igual a zero.

Passo 5

Como a fração é sempre maior ou igual a zero para qualquer valor real de , não temos restrições adicionais além de garantir que o denominador não seja zero, o que já vimos que nunca acontece.

Resposta

Portanto, o domínio da função é todos os números reais. Em termos de intervalo, podemos escrever:

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