Sejam
e
. Pede-se um vetor
sabendo que:
é ortogonal a
é ortogonal a
e
e
formam um ângulo agudo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores dados:
Queremos encontrar um vetor
que satisfaça as seguintes condições:
-
é ortogonal a . -
é ortogonal a . - O tamanho de
é . -
e formam um ângulo agudo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como ortogonalidade e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição de ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
Vamos expandir essas equações.
Passo 3
Expandindo a primeira equação:
Sabemos que
, então:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Fazendo o mesmo para a segunda equação:
Então:
Calculando
:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos representar
como
e escrever as equações de produto escalar:
Para
:
Para
:
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações:
Podemos expressar
e
em termos de
:
Passo 7
Agora, usamos a condição do tamanho do vetor
:
Isso significa que:
Substituindo
e
em termos de
:
Passo 8
Expandindo os quadrados:
Somando os termos semelhantes:
Passo 9
Subtraindo 11 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 10
Resolvemos a equação quadrática para
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 11
Vamos considerar cada caso para encontrar
:
Caso 1:
Então,
Caso 2:
Então,
Passo 12
Agora, devemos verificar qual das soluções forma um ângulo agudo com
. Um ângulo é agudo se o produto escalar for positivo.
Calculamos
para cada caso:
Caso 1:
Caso 2:
Ambas as soluções satisfazem a condição do ângulo agudo.
Resposta
Os vetores que satisfazem todas as condições são:
Exercícios relacionados
Verifique se os vetores abaixo são ortogonais.
.
Decida se existe ou não uma transformação linear
.
Obtenha os resultados das seguintes operações:
, onde
, e
.
Determine o ângulo entre os vetores abaixo.
e
.