Sejam baru=(1,1,0) e barv=(0,1,1). Pede-se um vetor barx sabendo que: barx-baru é ortogonal a u, barx-barv é ortogonal a v,|barx|=raiz11 e barx e baru formam um ângulo agudo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores dados:
baru = (1, 1, 0) e barv = (0, 1, 1)
Queremos encontrar um vetor que satisfaça as seguintes condições:
  1. é ortogonal a .
  2. é ortogonal a .
  3. O tamanho de é .
  4. e formam um ângulo agudo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como ortogonalidade e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condição de ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então, temos:
(barx - baru) cdot baru = 0 e (barx - barv) cdot barv = 0
Vamos expandir essas equações.

Passo 3

Expandindo a primeira equação:
(barx - baru) cdot baru = barx cdot baru - baru cdot baru = 0
Sabemos que barx cdot baru = |baru|^2 , então:
|baru| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
Calculando barx cdot baru = 2 :
Então:

Passo 4

Fazendo o mesmo para a segunda equação:
(barx - barv) cdot barv = barx cdot barv - barv cdot barv = 0
Então:
barx cdot barv = |barv|^2
Calculando |barv| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2 :
barx cdot barv = 2
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos representar barx cdot baru = x1 cdot 1 + x2 cdot 1 + x3 cdot 0 = x1 + x2 = 2 (1) como barx cdot barv = x1 cdot 0 + x2 cdot 1 + x3 cdot 1 = x2 + x3 = 2 (2) e escrever as equações de produto escalar:
Para :
Para :

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações:
x1 + x2 = 2 (1) x2 + x3 = 2 (2)
Podemos expressar x1 = 2 - x2 e x3 = 2 - x2 e em termos de :

Passo 7

Agora, usamos a condição do tamanho do vetor |barx| = raiz11 :
x1^2 + x2^2 + x3^2 = 11
Isso significa que:
(2 - x2)^2 + x2^2 + (2 - x2)^2 = 11
Substituindo e em termos de :

Passo 8

Expandindo os quadrados:
(4 - 4x2 + x2^2) + x2^2 + (4 - 4x2 + x2^2) = 11
Somando os termos semelhantes:
4 - 4x2 + x2^2 + x2^2 + 4 - 4x2 + x2^2 = 11
3x2^2 - 8x2 + 8 = 11

Passo 9

Subtraindo 11 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
3x2^2 - 8x2 + 8 - 11 = 0
3x2^2 - 8x2 - 3 = 0

Passo 10

Resolvemos a equação quadrática para x2 = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 3 cdot (-3)2 cdot 3 = 8 pm raiz64 + 366 = 8 pm raiz1006 = 8 pm 106 . Usamos a fórmula de Bhaskara:
x2 = 186 = 3 ou x2 = -26 = -13
Então, temos duas soluções:

Passo 11

Vamos considerar cada caso para encontrar x1 = 2 - 3 = -1 e x3 = 2 - 3 = -1 :
Caso 1: x1 = 2 - (-13) = 73 e x3 = 2 - (-13) = 73
Então,
Caso 2:
Então,

Passo 12

Agora, devemos verificar qual das soluções forma um ângulo agudo com (-1)(1) + 3(1) + (-1)(0) = -1 + 3 + 0 = 2 > 0 (ângulo agudo) . Um ângulo é agudo se o produto escalar for positivo.
Calculamos (73)(1) + (-13)(1) + (73)(0) = 73 - 13 + 0 = 63 = 2 > 0 (ângulo agudo) para cada caso:
Caso 1:
â
Caso 2:
â
Ambas as soluções satisfazem a condição do ângulo agudo.

Resposta

Os vetores que satisfazem todas as condições são:
barx = (-1,, 3,, -1) e barx = (73,, -13,, 73)

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