Decida se existem a, b in R de modo que a função seja contínua no(s) ponto(s) indicado(s). Em caso afirmativo, calcule tais valores de a e b.

Passo 1

Então, a gente tem uma função que muda de expressão dependendo de onde está em relação a 0. Queremos descobrir se existem valores de e que deixam essa função contínua em . Ou seja, a gente quer que não haja “saltos” ou “interrupções” no gráfico da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em limx to 0^+ f(x) = limx to 0^- f(x) = f(0) . Para isso, os limites laterais (quando se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda) e o valor da função em 0 têm que ser iguais. Matemática falando:
Vamos calcular cada um desses limites.

Passo 3

Limite pela direita ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (x^2 + a) = 0 + a = a ):
Quando limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (cos(x^2) + e^x) = cos(0) + e^0 = 1 + 1 = 2 , a função é . Então:
Limite pela esquerda ( ):
Quando , a função é . Então:

Passo 4

Para a função ser contínua em a = 2 e f(0) = b = 2 , os limites devem ser iguais e também iguais ao valor da função em 0, ou seja:

Resposta

Sim, existem valores de a = 2 e b = 2 e que tornam a função contínua em . Os valores são:

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