Decida se a função
dada por
é inversível. Caso não seja, faça restrições aos domínio e contradomínio, se necessário, a fim de que a função produzida seja inversível. Em seguida, determine a inversa.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
, definida por
, é inversível. Se não for, precisamos restringir o domínio e o contradomínio para torná-la inversível e, por fim, encontrar a função inversa. Vamos usar conceitos de funções inversas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função é inversível se ela for injetora (cada valor no domínio mapeia para um valor único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Na prática, isso garante que a função tenha uma inversa.
Passo 3
Vamos verificar se
é injetora. Para isso, assumimos que
e mostramos que isso implica
:
Multiplicando em cruz:
Expandindo ambos os lados:
Simplificando e cancelando termos iguais:
Levantando todos os termos com
para um lado e
para o outro:
Dividindo ambos os lados por 11:
Isso mostra que a função é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para toda
, queremos encontrar um
tal que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Reunindo os termos com
:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Como conseguimos expressar
em termos de
para todo
, a função é sobrejetora para
. Portanto, precisamos restringir o contradomínio para
para garantir que a função seja inversível.
Passo 5
Agora que verificamos que a função é injetora e sobrejetora quando restringimos o contradomínio, podemos concluir que a função original não era completamente inversível, mas com as restrições feitas, ela se torna inversível. Vamos então encontrar a inversa.
A função inversa
já está expressa na resolução anterior:
Resposta
A função
é inversível quando restringimos seu contradomínio para
. A função inversa é:
Exercícios relacionados
Assumindo que
, escreva
em função de
.
Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
, que também satisfazem a implicação dada.
Seja
.
(b) Assumindo que , calcule
.
(b) Assumindo que
Determine sen
e
sabendo que
e que
.