Decida se a função dada por é inversível. Caso não seja, faça restrições aos domínio e contradomínio, se necessário, a fim de que a função produzida seja inversível. Em seguida, determine a inversa.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função , definida por , é inversível. Se não for, precisamos restringir o domínio e o contradomínio para torná-la inversível e, por fim, encontrar a função inversa. Vamos usar conceitos de funções inversas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser inversível. Uma função é inversível se ela for injetora (cada valor no domínio mapeia para um valor único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Na prática, isso garante que a função tenha uma inversa.

Passo 3

Vamos verificar se é injetora. Para isso, assumimos que e mostramos que isso implica :
Multiplicando em cruz:
Expandindo ambos os lados:
Simplificando e cancelando termos iguais:
Levantando todos os termos com para um lado e para o outro:
Dividindo ambos os lados por 11:
Isso mostra que a função é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para toda , queremos encontrar um tal que :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Reunindo os termos com :
Fatorando :
Resolvendo para :
Como conseguimos expressar em termos de para todo , a função é sobrejetora para . Portanto, precisamos restringir o contradomínio para para garantir que a função seja inversível.

Passo 5

Agora que verificamos que a função é injetora e sobrejetora quando restringimos o contradomínio, podemos concluir que a função original não era completamente inversível, mas com as restrições feitas, ela se torna inversível. Vamos então encontrar a inversa.
A função inversa já está expressa na resolução anterior:

Resposta

A função é inversível quando restringimos seu contradomínio para . A função inversa é:

Exercícios relacionados

Assumindo que , escreva em função de .
Nos exercícios 11 a 15 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que . Dar exemplos de dois outros números positivos para , que também satisfazem a implicação dada.
Seja .
(b) Assumindo que , calcule .
Determine sen e sabendo que e que .