Nos exercícios 11 a 15 é dado . Determinar um número para o dado tal que sempre que . Dar exemplos de dois outros números positivos para , que também satisfazem a implicação dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite: . O que a questão quer é que a gente encontre um valor de tal que, quando estiver bem pertinho de (mas diferente de ), a função estará a menos de de . Para isso, vamos usar o conceito de definição de limite na matemática, que envolve relacionar (uma pequena distância desejada) com (quão perto precisa estar de ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função: . Se a gente tenta substituir , parece que dá uma divisão por zero, mas o limite já nos diz o comportamento da função perto de . Vamos simplificar para facilitar.

Passo 3

Simplificando :
Aqui, podemos cancelar o , desde que :
Isso deixa mais fácil trabalhar com a função.

Passo 4

Agora queremos que , onde . Então:
Como , substituímos:
Isso nos dá uma relação direta entre e .

Passo 5

O próximo passo é relacionar isso com a definição de . Queremos que sempre que , então . Observando a última desigualdade:
Perceba que . Logo, podemos tomar .

Passo 6

Mas a questão também pede para darmos dois outros números positivos para que funcionam. Qualquer número menor ou igual a vai funcionar, porque se e , então automaticamente também será verdadeiro.

Passo 7

Vamos escolher e . Vamos verificar:
  • Para :
  • Para :
ã
Ops! Vejamos melhor. Se escolhemos , está ok. Outro bom número seria mesmo, ou qualquer valor menor.

Passo 8

Então, vamos escolher e . Ambos satisfazem a condição quando .

Resposta

Um valor adequado é . Além disso, outros dois números positivos que também funcionam são e .

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Em um triângulo retângulo de hipotenusa medindo 15 cm, sabe-se que o seno de um dos outros dois ângulos internos (que não o reto) é . Determine:
(a) as medidas dos catetos
(b) o cosseno e a tangente
© seno, cosseno e tangente desse mesmo ângulo do terceiro ângulo interno
Assumindo que , escreva em função de .
Decida se a função dada por é inversível. Caso não seja, faça restrições aos domínio e contradomínio, se necessário, a fim de que a função produzida seja inversível. Em seguida, determine a inversa.