Nos exercícios 11 a 15 é dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de para o varepsilon dado tal que |f(x)-L| sempre que 0<|x-a|. Dar exemplos de dois outros números positivos para de, que também satisfazem a implicação dada.
lim x -2 x^2-4x+2=-4, varepsilon=0,1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite: lim x -2 x^2-4x+2=-4. O que a questão quer é que a gente encontre um valor de de tal que, quando x estiver bem pertinho de -2 (mas diferente de -2), a função f(x) estará a menos de varepsilon = 0,1 de -4. Para isso, vamos usar o conceito de definição de limite na matemática, que envolve relacionar varepsilon (uma pequena distância desejada) com de (quão perto x precisa estar de a = -2).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função: f(x) = x^2-4x+2. Se a gente tenta substituir x = -2, parece que dá uma divisão por zero, mas o limite já nos diz o comportamento da função perto de x = -2. Vamos simplificar f(x) para facilitar.

Passo 3

Simplificando f(x):
f(x) = x^2 - 4x + 2 = (x - 2)(x + 2)x + 2
Aqui, podemos cancelar o (x + 2), desde que x neq -2:
f(x) = x - 2 para x neq -2
Isso deixa mais fácil trabalhar com a função.

Passo 4

Agora queremos que |f(x) - L| < varepsilon, onde L = -4. Então:
|f(x) - (-4)| < 0,1 |f(x) + 4| < 0,1
Como f(x) = x - 2, substituímos:
|x - 2 + 4| < 0,1 |x + 2| < 0,1
Isso nos dá uma relação direta entre |x + 2| e 0,1.

Passo 5

O próximo passo é relacionar isso com a definição de de. Queremos que sempre que 0 < |x - (-2)| < de, então |f(x) - (-4)| < 0,1. Observando a última desigualdade:
|x + 2| < 0,1
Perceba que |x + 2| = |x - (-2)|. Logo, podemos tomar de.

Passo 6

Mas a questão também pede para darmos dois outros números positivos para de que funcionam. Qualquer número menor ou igual a 0,1 vai funcionar, porque se |x + 2| < de e de, então automaticamente |x + 2| < 0,1 também será verdadeiro.

Passo 7

Vamos escolher de e de. Vamos verificar:
  • Para de:
0 < |x + 2| < 0,05 implies |x + 2| < 0,1
  • Para de:
0 < |x + 2| < 0,2 implies |x + 2| < 0,2 < 0,1 (não satisfaz) ã
Ops! Vejamos melhor. Se escolhemos de, está ok. Outro bom número seria de mesmo, ou qualquer valor menor.

Passo 8

Então, vamos escolher de e de. Ambos satisfazem a condição |x + 2| < 0,1 quando 0 < |x + 2| < de.

Resposta

Um valor adequado é de. Além disso, outros dois números positivos que também funcionam são de e de.

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