Nos exercícios 11 a 15 é dado
. Determinar um número
para o
dado tal que
sempre que
. Dar exemplos de dois outros números positivos para
, que também satisfazem a implicação dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite:
. O que a questão quer é que a gente encontre um valor de
tal que, quando
estiver bem pertinho de
(mas diferente de
), a função
estará a menos de
de
. Para isso, vamos usar o conceito de definição de limite na matemática, que envolve relacionar
(uma pequena distância desejada) com
(quão perto
precisa estar de
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
. Se a gente tenta substituir
, parece que dá uma divisão por zero, mas o limite já nos diz o comportamento da função perto de
. Vamos simplificar
para facilitar.
Passo 3
Simplificando
:
Aqui, podemos cancelar o
, desde que
:
Isso deixa mais fácil trabalhar com a função.
Passo 4
Agora queremos que
, onde
. Então:
Como
, substituímos:
Isso nos dá uma relação direta entre
e
.
Passo 5
O próximo passo é relacionar isso com a definição de
. Queremos que sempre que
, então
. Observando a última desigualdade:
Perceba que
. Logo, podemos tomar
.
Passo 6
Mas a questão também pede para darmos dois outros números positivos para
que funcionam. Qualquer número menor ou igual a
vai funcionar, porque se
e
, então automaticamente
também será verdadeiro.
Passo 7
Vamos escolher
e
. Vamos verificar:
- Para
:
- Para
:
Ops! Vejamos melhor. Se escolhemos
, está ok. Outro bom número seria
mesmo, ou qualquer valor menor.
Passo 8
Então, vamos escolher
e
. Ambos satisfazem a condição
quando
.
Resposta
Um valor adequado é
. Além disso, outros dois números positivos que também funcionam são
e
.