Seja f: R R.
(b) Assumindo que lim x 0 f(x)x=0, calcule lim x 0 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções e limites, que é um tópico fundamental em cálculo. A gente precisa entender como a função se comporta quando se aproxima de 0. Especificamente, a gente sabe que e precisa descobrir qual é . Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa . Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de 0, o valor de fica cada vez mais perto de 0. Em outras palavras, está se comportando de modo que é muito menor que perto de 0.

Passo 3

Agora, para encontrar f(x)x = 0 , vamos manipular a expressão que temos. Observa que:
f(x) = x cdot f(x)x
Multiplicando ambos os lados por limx 0 f(x) = limx 0 ( x cdot f(x)x ) , temos:
Agora, aplicando o limite em ambos os lados quando tende a 0:

Passo 4

A gente sabe que o limite do produto é o produto dos limites, desde que ambos existam. Então:
limx 0 f(x) = ( limx 0 x ) cdot ( limx 0 f(x)x )
Sabemos que 0 cdot 0 = 0 e, pelo enunciado, . Então:

Resposta

O limite de limx 0 f(x) = 0 quando se aproxima de 0 é 0, ou seja:

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