Seja
diferenciável com
. Seja
a parametrização de uma curva diferenciável no plano
com
. Seja
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou envolve funções diferenciáveis e derivadas parciais. Especificamente, temos uma função
que é diferenciável, e queremos encontrar a derivada de uma composição de funções, denotada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia em cálculo multivariável e entender um pouco sobre parametrizações de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Aqui,
é uma curva parametrizada no plano
, ou seja, ela nos dá pontos
conforme
varia. Então,
basicamente avalia a função
nesses pontos da curva.
Passo 3
Queremos encontrar
, que é a derivada de
no ponto
. Para isso, usamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, que nos diz que:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
e
são as derivadas das componentes da curva
.
Passo 4
Vamos aplicar isso no ponto
:
Sabemos que
e
, o que implica que
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Sabemos também que
e
. Então: