Seja f(x, y) diferenciável com f_x(1,1) = 2 f_y(1,1) = 6. Seja r a parametrização de uma curva diferenciável no plano R^2 com r'(0) = 4 r(0) = (4,4). Seja varphi(t) = f(r(t)). Determine phi'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou envolve funções diferenciáveis e derivadas parciais. Especificamente, temos uma função que é diferenciável, e queremos encontrar a derivada de uma composição de funções, denotada por . Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra da Cadeia em cálculo multivariável e entender um pouco sobre parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Aqui, é uma curva parametrizada no plano , ou seja, ela nos dá pontos conforme varia. Então, basicamente avalia a função nesses pontos da curva.

Passo 3

Queremos encontrar , que é a derivada de no ponto . Para isso, usamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, que nos diz que:
Onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas das componentes da curva .

Passo 4

Vamos aplicar isso no ponto :
Sabemos que e , o que implica que .

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos:
Sabemos também que e . Então:

Resposta

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