Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
f(x) = raiz(3)(6 x - 4) ; x0 = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto usando a definição de derivada.
Para isso, vamos usar a definição de derivada, que diz que a derivada de em é o limite da razão de variação da função quando o incremento tende a zero. Vamos precisar aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada:
Aqui, representa a derivada da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos montar a razão de variação:
Nosso objetivo é calcular o limite disso quando tende a zero.

Passo 6

Para resolver esse limite, vamos usar a propriedade de limites das funções contínuas. Sabemos que:
Mas para simplificar, podemos utilizar a derivada conhecida de , que é:

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para a função , temos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Podemos reescrever como:
Então:

Resposta

A derivada de no ponto é:

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